Алгебра Примеры

$3 x^{\frac{16}{5}} - 192 x^{2} = 0$

Этап 1

Найдем общий множитель $x^{2}$ , который присутствует в каждом члене.

$3 {(x^{2})}^{\frac{8}{5}} - 192 x^{2}$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $x^{2}$ .

$3 {(u)}^{\frac{8}{5}} - 192 u = 0$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $3 u$ из $3 u^{\frac{8}{5}} - 192 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $3 u$ из $3 u^{\frac{8}{5}}$ .

$3 u (u^{\frac{3}{5}}) - 192 u = 0$

Этап 3.1.1.2

Вынесем множитель $3 u$ из $- 192 u$ .

$3 u (u^{\frac{3}{5}}) + 3 u (- 64) = 0$

Этап 3.1.1.3

Вынесем множитель $3 u$ из $3 u (u^{\frac{3}{5}}) + 3 u (- 64)$ .

$3 u (u^{\frac{3}{5}} - 64) = 0$

Этап 3.1.2

Перепишем $u^{\frac{3}{5}}$ в виде ${(u^{\frac{1}{5}})}^{3}$ .

$3 u ({(u^{\frac{1}{5}})}^{3} - 64) = 0$

Этап 3.1.3

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$3 u ({(u^{\frac{1}{5}})}^{3} - 4^{3}) = 0$

Этап 3.1.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = u^{\frac{1}{5}}$ и $b = 4$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) ({(u^{\frac{1}{5}})}^{2} + u^{\frac{1}{5}} \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Этап 3.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.1

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{5}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{1}{5} \cdot 2} + u^{\frac{1}{5}} \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Этап 3.1.5.1.1.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $2$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{2}{5}} + u^{\frac{1}{5}} \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Этап 3.1.5.1.2

Перенесем $4$ влево от $u^{\frac{1}{5}}$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{2}{5}} + 4 u^{\frac{1}{5}} + 4^{2})) = 0$

Этап 3.1.5.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{2}{5}} + 4 u^{\frac{1}{5}} + 16)) = 0$

Этап 3.1.5.1.4

Изменим порядок членов.

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16)) = 0$

Этап 3.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 u (u^{\frac{1}{5}} - 4) (4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$

$4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16 = 0$

Этап 3.3

Приравняем $u$ к $0$ .

$u = 0$

Этап 3.4

Приравняем $u^{\frac{1}{5}} - 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $u^{\frac{1}{5}} - 4$ к $0$ .

$u^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $u^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$u^{\frac{1}{5}} = 4$

Этап 3.4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $5$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(u^{\frac{1}{5}})}^{5} = 4^{5}$

Этап 3.4.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Упростим ${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 4^{5}$

Этап 3.4.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 4^{5}$

Этап 3.4.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{1} = 4^{5}$

Этап 3.4.2.3.1.1.2

Упростим.

$u = 4^{5}$

Этап 3.4.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.2.1

Возведем $4$ в степень $5$ .

$u = 1024$

Этап 3.5

Приравняем $4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16$ к $0$ .

$4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Найдем общий множитель $u^{\frac{1}{5}}$ , который присутствует в каждом члене.

$4 u^{\frac{1}{5}} {(u^{\frac{1}{5}})}^{2} + 16$

Этап 3.5.2.2

Подставим $u$ вместо $u^{\frac{1}{5}}$ .

$4 (u) {(u)}^{2} + 16 = 0$

Этап 3.5.2.3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Умножим $u$ на ${(u)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Перенесем ${(u)}^{2}$ .

$4 ({(u)}^{2} u) + 16 = 0$

Этап 3.5.2.3.1.2

Умножим ${(u)}^{2}$ на $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$4 ({(u)}^{2} u^{1}) + 16 = 0$

Этап 3.5.2.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 u^{2 + 1} + 16 = 0$

Этап 3.5.2.3.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$4 u^{3} + 16 = 0$

Этап 3.5.2.3.2

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$4 u^{3} = - 16$

Этап 3.5.2.3.3

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$4 u^{3} + 16 = 0$

Этап 3.5.2.3.4

Вынесем множитель $4$ из $4 u^{3} + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 u^{3}$ .

$4 (u^{3}) + 16 = 0$

Этап 3.5.2.3.4.2

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$4 u^{3} + 4 \cdot 4 = 0$

Этап 3.5.2.3.4.3

Вынесем множитель $4$ из $4 u^{3} + 4 \cdot 4$ .

$4 (u^{3} + 4) = 0$

Этап 3.5.2.3.5

Разделим каждый член $4 (u^{3} + 4) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.5.1

Разделим каждый член $4 (u^{3} + 4) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 (u^{3} + 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 3.5.2.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.5.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (u^{3} + 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 3.5.2.3.5.2.1.2

Разделим $u^{3} + 4$ на $1$ .

$u^{3} + 4 = \frac{0}{4}$

Этап 3.5.2.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.5.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$u^{3} + 4 = 0$

Этап 3.5.2.3.6

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$u^{3} = - 4$

Этап 3.5.2.3.7

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$u = \sqrt[3]{- 4}$

Этап 3.5.2.3.8

Упростим $\sqrt[3]{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.8.1

Перепишем $- 4$ в виде ${(- 1)}^{3} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.8.1.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$u = \sqrt[3]{- 1 (4)}$

Этап 3.5.2.3.8.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$u = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 4}$

Этап 3.5.2.3.8.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = - 1 \sqrt[3]{4}$

Этап 3.5.2.3.8.3

Перепишем $- 1 \sqrt[3]{4}$ в виде $- \sqrt[3]{4}$ .

$u = - \sqrt[3]{4}$

Этап 3.5.2.4

Подставим $u$ вместо $u$ .

$u^{\frac{1}{5}} = - \sqrt[3]{4}$

Этап 3.5.2.5

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.1

Возведем обе части уравнения в степень $5$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(u^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Этап 3.5.2.5.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.2.1.1

Упростим ${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Этап 3.5.2.5.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Этап 3.5.2.5.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{1} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Этап 3.5.2.5.2.1.1.2

Упростим.

$u = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Этап 3.5.2.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.2.2.1

Упростим ${(- \sqrt[3]{4})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt[3]{4}$ .

$u = {(- 1)}^{5} {\sqrt[3]{4}}^{5}$

Этап 3.5.2.5.2.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$u = - {\sqrt[3]{4}}^{5}$

Этап 3.5.2.5.2.2.1.3

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{5}$ в виде $\sqrt[3]{4^{5}}$ .

$u = - \sqrt[3]{4^{5}}$

Этап 3.5.2.5.2.2.1.4

Возведем $4$ в степень $5$ .

$u = - \sqrt[3]{1024}$

Этап 3.5.2.5.2.2.1.5

Перепишем $1024$ в виде $8^{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.2.2.1.5.1

Вынесем множитель $512$ из $1024$ .

$u = - \sqrt[3]{512 (2)}$

Этап 3.5.2.5.2.2.1.5.2

Перепишем $512$ в виде $8^{3}$ .

$u = - \sqrt[3]{8^{3} \cdot 2}$

Этап 3.5.2.5.2.2.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = - (8 \sqrt[3]{2})$

Этап 3.5.2.5.2.2.1.7

Умножим $8$ на $- 1$ .

$u = - 8 \sqrt[3]{2}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 u (u^{\frac{1}{5}} - 4) (4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16) = 0$ верно.

$u = 0, 1024, - 8 \sqrt[3]{2}$

Этап 4

Подставим $x$ вместо $u$ .

$x^{2} = 0, 1024, - 8 \sqrt[3]{2}$

Этап 5

Решим относительно $x^{2} = 0$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Решим относительно $x^{2} = 1024$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1024}$

Этап 6.2

Упростим $\pm \sqrt{1024}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $1024$ в виде $32^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{32^{2}}$

Этап 6.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 32$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 32$

Этап 6.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 32$

Этап 6.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 32, - 32$

Этап 7

Решим относительно $x^{2} = - 8 \sqrt[3]{2}$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 8 \sqrt[3]{2}}$

Этап 7.2

Упростим $\pm \sqrt{- 8 \sqrt[3]{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $- 8 \sqrt[3]{2}$ в виде ${(2 i)}^{2} \cdot (2 \sqrt[3]{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 8$ .

$x = \pm \sqrt{- 4 (2) \sqrt[3]{2}}$

Этап 7.2.1.2

Перепишем $- 4$ в виде ${(2 i)}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(2 i)}^{2} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}$

Этап 7.2.1.3

Добавим круглые скобки.

$x = \pm \sqrt{{(2 i)}^{2} \cdot (2 \sqrt[3]{2})}$

Этап 7.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

Этап 7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

Этап 7.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

Этап 7.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}, - 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

Этап 8

Перечислим все решения.

$x = 0, 32, - 32, 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}, - 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$