Алгебра Примеры

$(1 + \cos (θ)) (\tan (θ) - 1) = 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$1 + \cos (θ) = 0$

$\tan (θ) - 1 = 0$

Этап 2

Приравняем $1 + \cos (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $1 + \cos (θ)$ к $0$ .

$1 + \cos (θ) = 0$

Этап 2.2

Решим $1 + \cos (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (θ) = - 1$

Этап 2.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (- 1)$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$θ = π$

Этап 2.2.4

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 2 π - π$

Этап 2.2.5

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$θ = π$

Этап 2.2.6

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.2.7

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Приравняем $\tan (θ) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\tan (θ) - 1$ к $0$ .

$\tan (θ) - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $\tan (θ) - 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\tan (θ) = 1$

Этап 3.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (1)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Этап 3.2.4

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Этап 3.2.5

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 3.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 3.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 3.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 3.2.5.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Этап 3.2.6

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 3.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2.7

Период функции $\tan (θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(1 + \cos (θ)) (\tan (θ) - 1) = 0$ верно.

$θ = π + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Объединим $\frac{π}{4} + π n$ и $\frac{5 π}{4} + π n$ в $\frac{π}{4} + π n$ .

$θ = π + 2 π n, \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$