Алгебра Примеры

$\frac{7}{x + 5} \leq \frac{8}{x + 6}$

Этап 1

Вычтем $\frac{8}{x + 6}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{7}{x + 5} - \frac{8}{x + 6} \leq 0$

Этап 2

Упростим $\frac{7}{x + 5} - \frac{8}{x + 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{7}{x + 5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{7}{x + 5} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{8}{x + 6} \leq 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{8}{x + 6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{7}{x + 5} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{8}{x + 6} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} \leq 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 5) (x + 6)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{7}{x + 5}$ на $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8}{x + 6} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} \leq 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{8}{x + 6}$ на $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8 (x + 5)}{(x + 6) (x + 5)} \leq 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + 6) (x + 5)$ .

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 (x + 6) - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 x + 7 \cdot 6 - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Этап 2.5.2

Умножим $7$ на $6$ .

$\frac{7 x + 42 - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Этап 2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 x + 42 - 8 x - 8 \cdot 5}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Этап 2.5.4

Умножим $- 8$ на $5$ .

$\frac{7 x + 42 - 8 x - 40}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Этап 2.5.5

Вычтем $8 x$ из $7 x$ .

$\frac{- x + 42 - 40}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Этап 2.5.6

Вычтем $40$ из $42$ .

$\frac{- x + 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Этап 2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) + 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Этап 2.7

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Этап 2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Этап 2.9

Перепишем $- (x - 2)$ в виде $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Этап 2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 6

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 2$

$x = - 5$

$x = - 6$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 2, - 5, - 6$

Этап 9

Найдем область определения $- \frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x + 5) (x + 6) = 0$

Этап 9.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 9.2.2

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 9.2.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 9.2.3

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 9.2.3.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 9.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 5) (x + 6) = 0$ верно.

$x = - 5, - 6$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 5$

$- 5 < x < 2$

$x > 2$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$\frac{7}{(- 8) + 5} \leq \frac{8}{(- 8) + 6}$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 2.\overline{3}$ больше правой части $- 4$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 6 < x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 6 < x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5.5$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $- 5.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{7}{(- 5.5) + 5} \leq \frac{8}{(- 5.5) + 6}$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 14$ меньше правой части $16$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{7}{(0) + 5} \leq \frac{8}{(0) + 6}$

Этап 11.3.3

Левая часть $1.4$ больше правой части $1.\overline{3}$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{7}{(4) + 5} \leq \frac{8}{(4) + 6}$

Этап 11.4.3

Левая часть $0.\overline{7}$ меньше правой части $0.8$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 6$ Ложь

$- 6 < x < - 5$ Истина

$- 5 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - 6$ Ложь

$- 6 < x < - 5$ Истина

$- 5 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 6 < x < - 5$ или $x \geq 2$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 6 < x < - 5 or x \geq 2$

Интервальное представление:

$(- 6, - 5) \cup [2, \infty)$

Этап 14