Алгебра Примеры

$\frac{p + 5}{p^{2} + p} = \frac{1}{p^{2} + p} - \frac{p - 6}{p + 1}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $p$ из $p^{2} + p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $p$ из $p^{2}$ .

$\frac{p + 5}{p \cdot p + p} = \frac{1}{p^{2} + p} - \frac{p - 6}{p + 1}$

Этап 1.1.2

Возведем $p$ в степень $1$ .

$\frac{p + 5}{p \cdot p + p^{1}} = \frac{1}{p^{2} + p} - \frac{p - 6}{p + 1}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $p$ из $p^{1}$ .

$\frac{p + 5}{p \cdot p + p \cdot 1} = \frac{1}{p^{2} + p} - \frac{p - 6}{p + 1}$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $p$ из $p \cdot p + p \cdot 1$ .

$\frac{p + 5}{p (p + 1)} = \frac{1}{p^{2} + p} - \frac{p - 6}{p + 1}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $p$ из $p^{2} + p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $p$ из $p^{2}$ .

$\frac{p + 5}{p (p + 1)} = \frac{1}{p \cdot p + p} - \frac{p - 6}{p + 1}$

Этап 1.2.2

Возведем $p$ в степень $1$ .

$\frac{p + 5}{p (p + 1)} = \frac{1}{p \cdot p + p^{1}} - \frac{p - 6}{p + 1}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $p$ из $p^{1}$ .

$\frac{p + 5}{p (p + 1)} = \frac{1}{p \cdot p + p \cdot 1} - \frac{p - 6}{p + 1}$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $p$ из $p \cdot p + p \cdot 1$ .

$\frac{p + 5}{p (p + 1)} = \frac{1}{p (p + 1)} - \frac{p - 6}{p + 1}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$p (p + 1), p (p + 1), p + 1$

Этап 2.2

Поскольку $p (p + 1), p (p + 1), p + 1$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $p (p + 1), p (p + 1), p + 1$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $p^{1}, p^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $p + 1, p + 1, p + 1$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множителем $p^{1}$ является само значение $p$ .

$p^{1} = p$

$p$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $p^{1}, p^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$p$

Этап 2.8

Множителем $p + 1$ является само значение $p + 1$ .

$(p + 1) = p + 1$

$(p + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $p + 1, p + 1, p + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$p + 1$

Этап 2.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$p (p + 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{p + 5}{p (p + 1)} = \frac{1}{p (p + 1)} - \frac{p - 6}{p + 1}$ умножим на $p (p + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{p + 5}{p (p + 1)} = \frac{1}{p (p + 1)} - \frac{p - 6}{p + 1}$ на $p (p + 1)$ .

$\frac{p + 5}{p (p + 1)} (p (p + 1)) = \frac{1}{p (p + 1)} (p (p + 1)) - \frac{p - 6}{p + 1} (p (p + 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $p (p + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{p + 5}{p (p + 1)} (p (p + 1)) = \frac{1}{p (p + 1)} (p (p + 1)) - \frac{p - 6}{p + 1} (p (p + 1))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$p + 5 = \frac{1}{p (p + 1)} (p (p + 1)) - \frac{p - 6}{p + 1} (p (p + 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $p (p + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$p + 5 = \frac{1}{p (p + 1)} (p (p + 1)) - \frac{p - 6}{p + 1} (p (p + 1))$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$p + 5 = 1 - \frac{p - 6}{p + 1} (p (p + 1))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $p + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{p - 6}{p + 1}$ в числитель.

$p + 5 = 1 + \frac{- (p - 6)}{p + 1} (p (p + 1))$

Этап 3.3.1.2.2

Вынесем множитель $p + 1$ из $p (p + 1)$ .

$p + 5 = 1 + \frac{- (p - 6)}{p + 1} ((p + 1) p)$

Этап 3.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$p + 5 = 1 + \frac{- (p - 6)}{p + 1} ((p + 1) p)$

Этап 3.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$p + 5 = 1 - (p - 6) p$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p + 5 = 1 + (- p - - 6) p$

Этап 3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$p + 5 = 1 + (- p + 6) p$

Этап 3.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$p + 5 = 1 - p \cdot p + 6 p$

Этап 3.3.1.6

Умножим $p$ на $p$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Перенесем $p$ .

$p + 5 = 1 - (p \cdot p) + 6 p$

Этап 3.3.1.6.2

Умножим $p$ на $p$ .

$p + 5 = 1 - p^{2} + 6 p$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $p$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$1 - p^{2} + 6 p = p + 5$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $p$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $p$ из обеих частей уравнения.

$1 - p^{2} + 6 p - p = 5$

Этап 4.2.2

Вычтем $p$ из $6 p$ .

$1 - p^{2} + 5 p = 5$

Этап 4.3

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$1 - p^{2} + 5 p - 5 = 0$

Этап 4.4

Вычтем $5$ из $1$ .

$- p^{2} + 5 p - 4 = 0$

Этап 4.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- p^{2} + 5 p - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- p^{2}$ .

$- (p^{2}) + 5 p - 4 = 0$

Этап 4.5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $5 p$ .

$- (p^{2}) - (- 5 p) - 4 = 0$

Этап 4.5.1.3

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$- (p^{2}) - (- 5 p) - 1 \cdot 4 = 0$

Этап 4.5.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (p^{2}) - (- 5 p)$ .

$- (p^{2} - 5 p) - 1 \cdot 4 = 0$

Этап 4.5.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (p^{2} - 5 p) - 1 (4)$ .

$- (p^{2} - 5 p + 4) = 0$

Этап 4.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Разложим $p^{2} - 5 p + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $- 5$ .

$- 4, - 1$

Этап 4.5.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((p - 4) (p - 1)) = 0$

Этап 4.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (p - 4) (p - 1) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$p - 4 = 0$

$p - 1 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $p - 4$ к $0$ , затем решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $p - 4$ к $0$ .

$p - 4 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$p = 4$

Этап 4.8

Приравняем $p - 1$ к $0$ , затем решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $p - 1$ к $0$ .

$p - 1 = 0$

Этап 4.8.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$p = 1$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (p - 4) (p - 1) = 0$ верно.

$p = 4, 1$