Алгебра Примеры

$\log_{5} (3 x + 2) < \log_{5} (2 x + 5)$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log_{5} (3 x + 2) = \log_{5} (2 x + 5)$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$3 x + 2 = 2 x + 5$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$3 x + 2 - 2 x = 5$

Этап 2.2.1.2

Вычтем $2 x$ из $3 x$ .

$x + 2 = 5$

Этап 2.2.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = 5 - 2$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$x = 3$

Этап 3

Найдем область определения $\log_{5} (\frac{3 x + 2}{2 x + 5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log_{5} (\frac{3 x + 2}{2 x + 5})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{3 x + 2}{2 x + 5} > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$3 x + 2 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 3.2.3

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 3.2.4

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 5$

Этап 3.2.5

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 3.2.6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - \frac{2}{3}$

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 3.2.7

Объединим решения.

$x = - \frac{2}{3}, - \frac{5}{2}$

Этап 3.2.8

Найдем область определения $\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x + 5 = 0$

Этап 3.2.8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 5$

Этап 3.2.8.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.2.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.2.8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.2.8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 3.2.8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \infty)$

Этап 3.2.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$

$x > - \frac{2}{3}$

Этап 3.2.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 3.2.10.1.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (- 5) + 2}{2 (- 5) + 5} > 0$

Этап 3.2.10.1.3

Левая часть $2.6$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.2.10.2

Проверим значение на интервале $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 3.2.10.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (- 2) + 2}{2 (- 2) + 5} > 0$

Этап 3.2.10.2.3

Левая часть $- 4$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 3.2.10.3

Проверим значение на интервале $x > - \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.3.1

Выберем значение на интервале $x > - \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 3.2.10.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (0) + 2}{2 (0) + 5} > 0$

Этап 3.2.10.3.3

Левая часть $0.4$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.2.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{5}{2}$ Истина

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Ложь

$x > - \frac{2}{3}$ Истина

$x < - \frac{5}{2}$ Истина

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Ложь

$x > - \frac{2}{3}$ Истина

Этап 3.2.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{5}{2}$ или $x > - \frac{2}{3}$

Этап 3.3

Зададим знаменатель в $\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x + 5 = 0$

Этап 3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 5$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < 3$

$x > 3$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$\log_{5} (3 (- 5) + 2) < \log_{5} (2 (- 5) + 5)$

Этап 5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

$x = - 2$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\log_{5} (3 (- 2) + 2) < \log_{5} (2 (- 2) + 5)$

Этап 5.2.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.2.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $- \frac{2}{3} < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $- \frac{2}{3} < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\log_{5} (3 (0) + 2) < \log_{5} (2 (0) + 5)$

Этап 5.3.3

Левая часть $0.43067655$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.4

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 5.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\log_{5} (3 (6) + 2) < \log_{5} (2 (6) + 5)$

Этап 5.4.3

Левая часть $1.86135311$ не меньше правой части $1.76037442$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{5}{2}$ Ложь

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Ложь

$- \frac{2}{3} < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - \frac{5}{2}$ Ложь

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Ложь

$- \frac{2}{3} < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{2}{3} < x < 3$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \frac{2}{3} < x < 3$

Интервальное представление:

$(- \frac{2}{3}, 3)$

Этап 8