Алгебра Примеры

$\frac{x^{4} + 0 x^{3} - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $0$ на $x^{3}$ .

$\frac{x^{4} + 0 - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Этап 1.2

Добавим $x^{4}$ и $0$ .

$\frac{x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Этап 1.3

Разложим $x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Этап 1.3.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 3$

Этап 1.3.3

Подставим $- 3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Подставим $- 3$ в многочлен.

${(- 3)}^{4} - 10 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Этап 1.3.3.2

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$81 - 10 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Этап 1.3.3.3

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$81 - 10 \cdot 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Этап 1.3.3.4

Умножим $- 10$ на $9$ .

$81 - 90 - 2 \cdot - 3 + 3$

Этап 1.3.3.5

Вычтем $90$ из $81$ .

$- 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Этап 1.3.3.6

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$- 9 + 6 + 3$

Этап 1.3.3.7

Добавим $- 9$ и $6$ .

$- 3 + 3$

Этап 1.3.3.8

Добавим $- 3$ и $3$ .

$0$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 3$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Этап 1.3.5

Разделим $x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3$ на $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

Этап 1.3.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

Этап 1.3.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 1.3.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} + 3 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 1.3.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 1.3.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

Этап 1.3.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

Этап 1.3.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Этап 1.3.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{3} - 9 x^{2}$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

Этап 1.3.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

Этап 1.3.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

Этап 1.3.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

Этап 1.3.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

Этап 1.3.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} - 3 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

Этап 1.3.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

Этап 1.3.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

Этап 1.3.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

Этап 1.3.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x$

$3$

Этап 1.3.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 3$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x$

$3$

Этап 1.3.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x$

$3$

$0$

Этап 1.3.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 1$

Этап 1.3.6

Запишем $x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3$ в виде набора множителей.

$\frac{(x + 3) (x^{3} - 3 x^{2} - x + 1)}{x + 3}$

Этап 2

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 3) (x^{3} - 3 x^{2} - x + 1)}{x + 3}$

Этап 2.2

Разделим $x^{3} - 3 x^{2} - x + 1$ на $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 1$