Алгебра Примеры

$\frac{t^{2} - 36}{3} + \frac{t^{2} + 6 t}{9 t}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 6^{2}}{3} + \frac{t^{2} + 6 t}{9 t}$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = t$ и $b = 6$ .

$\frac{(t + 6) (t - 6)}{3} + \frac{t^{2} + 6 t}{9 t}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{2} + 6 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$\frac{(t + 6) (t - 6)}{3} + \frac{t \cdot t + 6 t}{9 t}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $t$ из $6 t$ .

$\frac{(t + 6) (t - 6)}{3} + \frac{t \cdot t + t \cdot 6}{9 t}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot t + t \cdot 6$ .

$\frac{(t + 6) (t - 6)}{3} + \frac{t (t + 6)}{9 t}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(t + 6) (t - 6)}{3} + \frac{t (t + 6)}{9 t}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(t + 6) (t - 6)}{3} + \frac{t + 6}{9}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{(t + 6) (t - 6)}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(t + 6) (t - 6)}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{t + 6}{9}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{(t + 6) (t - 6)}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(t + 6) (t - 6) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{t + 6}{9}$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{(t + 6) (t - 6) \cdot 3}{9} + \frac{t + 6}{9}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(t + 6) (t - 6) \cdot 3 + t + 6}{9}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $(t + 6) (t - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(t (t - 6) + 6 (t - 6)) \cdot 3 + t + 6}{9}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(t \cdot t + t \cdot - 6 + 6 (t - 6)) \cdot 3 + t + 6}{9}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(t \cdot t + t \cdot - 6 + 6 t + 6 \cdot - 6) \cdot 3 + t + 6}{9}$

Этап 5.2

Объединим противоположные члены в $t \cdot t + t \cdot - 6 + 6 t + 6 \cdot - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим порядок множителей в членах $t \cdot - 6$ и $6 t$ .

$\frac{(t \cdot t - 6 t + 6 t + 6 \cdot - 6) \cdot 3 + t + 6}{9}$

Этап 5.2.2

Добавим $- 6 t$ и $6 t$ .

$\frac{(t \cdot t + 0 + 6 \cdot - 6) \cdot 3 + t + 6}{9}$

Этап 5.2.3

Добавим $t \cdot t$ и $0$ .

$\frac{(t \cdot t + 6 \cdot - 6) \cdot 3 + t + 6}{9}$

Этап 5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{(t^{2} + 6 \cdot - 6) \cdot 3 + t + 6}{9}$

Этап 5.3.2

Умножим $6$ на $- 6$ .

$\frac{(t^{2} - 36) \cdot 3 + t + 6}{9}$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{2} \cdot 3 - 36 \cdot 3 + t + 6}{9}$

Этап 5.5

Перенесем $3$ влево от $t^{2}$ .

$\frac{3 \cdot t^{2} - 36 \cdot 3 + t + 6}{9}$

Этап 5.6

Умножим $- 36$ на $3$ .

$\frac{3 \cdot t^{2} - 108 + t + 6}{9}$

Этап 5.7

Добавим $- 108$ и $6$ .

$\frac{3 t^{2} + t - 102}{9}$

Этап 5.8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 102 = - 306$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 t - 102}{9}$

Этап 5.8.1.2

Запишем $1$ как $- 17$ плюс $18$

$\frac{3 t^{2} + (- 17 + 18) t - 102}{9}$

Этап 5.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 t^{2} - 17 t + 18 t - 102}{9}$

Этап 5.8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(3 t^{2} - 17 t) + 18 t - 102}{9}$

Этап 5.8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{t (3 t - 17) + 6 (3 t - 17)}{9}$

Этап 5.8.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 t - 17$ .

$\frac{(3 t - 17) (t + 6)}{9}$