Алгебра Примеры

$y = \frac{1}{2} \sin (x - π) + 1$

Этап 1

Применим форму $a \sin (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = \frac{1}{2}$

$b = 1$

$c = π$

$d = 1$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $\frac{1}{2}$

Этап 3

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем период $\frac{\sin (x - π)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.1.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.1.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2

Найдем период $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$2 π$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{π}{1}$

Этап 4.3

Разделим $π$ на $1$ .

Сдвиг фазы: $π$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $\frac{1}{2}$

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: $π$ ( $π$ вправо)

Смещение по вертикали: $1$

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = \frac{\sin ((π) - π)}{2} + 1$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вычтем $π$ из $π$ .

$f (π) = \frac{\sin (0)}{2} + 1$

Этап 6.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (π) = \frac{0}{2} + 1$

Этап 6.1.2.2.2

Разделим $0$ на $2$ .

$f (π) = 0 + 1$

Этап 6.1.2.3

Добавим $0$ и $1$ .

$f (π) = 1$

Этап 6.1.2.4

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\sin ((\frac{3 π}{2}) - π)}{2} + 1$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})}{2} + 1$

Этап 6.2.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})}{2} + 1$

Этап 6.2.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{3 π - π \cdot 2}{2})}{2} + 1$

Этап 6.2.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{3 π - 2 π}{2})}{2} + 1$

Этап 6.2.2.3.1.2

Вычтем $2 π$ из $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{π}{2})}{2} + 1$

Этап 6.2.2.3.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{1}{2} + 1$

Этап 6.2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.4.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Этап 6.2.2.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{1 + 2}{2}$

Этап 6.2.2.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3}{2}$

Этап 6.2.2.5

Окончательный ответ: $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2 π$ .

$f (2 π) = \frac{\sin ((2 π) - π)}{2} + 1$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$f (2 π) = \frac{\sin (π)}{2} + 1$

Этап 6.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (2 π) = \frac{\sin (0)}{2} + 1$

Этап 6.3.2.2.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (2 π) = \frac{0}{2} + 1$

Этап 6.3.2.2.2

Разделим $0$ на $2$ .

$f (2 π) = 0 + 1$

Этап 6.3.2.3

Добавим $0$ и $1$ .

$f (2 π) = 1$

Этап 6.3.2.4

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{5 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{\sin ((\frac{5 π}{2}) - π)}{2} + 1$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})}{2} + 1$

Этап 6.4.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})}{2} + 1$

Этап 6.4.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{2})}{2} + 1$

Этап 6.4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{5 π - 2 π}{2})}{2} + 1$

Этап 6.4.2.3.1.2

Вычтем $2 π$ из $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2})}{2} + 1$

Этап 6.4.2.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{- \sin (\frac{π}{2})}{2} + 1$

Этап 6.4.2.3.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{- 1 \cdot 1}{2} + 1$

Этап 6.4.2.3.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{- 1}{2} + 1$

Этап 6.4.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{5 π}{2}) = - \frac{1}{2} + 1$

Этап 6.4.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.4.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{5 π}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Этап 6.4.2.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{- 1 + 2}{2}$

Этап 6.4.2.4.3

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{1}{2}$

Этап 6.4.2.5

Окончательный ответ: $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = 3 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3 π$ .

$f (3 π) = \frac{\sin ((3 π) - π)}{2} + 1$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$f (3 π) = \frac{\sin (2 π)}{2} + 1$

Этап 6.5.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (3 π) = \frac{\sin (0)}{2} + 1$

Этап 6.5.2.2.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (3 π) = \frac{0}{2} + 1$

Этап 6.5.2.2.2

Разделим $0$ на $2$ .

$f (3 π) = 0 + 1$

Этап 6.5.2.3

Добавим $0$ и $1$ .

$f (3 π) = 1$

Этап 6.5.2.4

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ π & 1 \\ \frac{3 π}{2} & \frac{3}{2} \\ 2 π & 1 \\ \frac{5 π}{2} & \frac{1}{2} \\ 3 π & 1 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $\frac{1}{2}$

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: $π$ ( $π$ вправо)

Смещение по вертикали: $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ π & 1 \\ \frac{3 π}{2} & \frac{3}{2} \\ 2 π & 1 \\ \frac{5 π}{2} & \frac{1}{2} \\ 3 π & 1 \end{array}$

Этап 8