Алгебра Примеры

$\frac{x}{2 x - 5} - \frac{4 x + 15}{4 x^{2} - 25}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{x}{2 x - 5} - \frac{4 x + 15}{{(2 x)}^{2} - 25}$

Этап 1.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{x}{2 x - 5} - \frac{4 x + 15}{{(2 x)}^{2} - 5^{2}}$

Этап 1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 x$ и $b = 5$ .

$\frac{x}{2 x - 5} - \frac{4 x + 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x}{2 x - 5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ .

$\frac{x}{2 x - 5} \cdot \frac{2 x + 5}{2 x + 5} - \frac{4 x + 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 x - 5) (2 x + 5)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{x}{2 x - 5}$ на $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ .

$\frac{x (2 x + 5)}{(2 x - 5) (2 x + 5)} - \frac{4 x + 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $(2 x - 5) (2 x + 5)$ .

$\frac{x (2 x + 5)}{(2 x + 5) (2 x - 5)} - \frac{4 x + 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (2 x + 5) - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 5 - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 5.3

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\frac{2 x \cdot x + 5 \cdot x - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 5.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 5 \cdot x - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 5.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 \cdot x - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

$\frac{2 x^{2} + 5 x - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 5 x - (4 x) - 1 \cdot 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 5.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 4 x - 1 \cdot 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 5.7

Умножим $- 1$ на $15$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 4 x - 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 5.8

Вычтем $4 x$ из $5 x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 5.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1 x - 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 5.9.1.2

Запишем $1$ как $- 5$ плюс $6$

$\frac{2 x^{2} + (- 5 + 6) x - 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 5.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 6 x - 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 5.9.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 x^{2} - 5 x) + 6 x - 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 5.9.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (2 x - 5) + 3 (2 x - 5)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 5.9.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 5$ .

$\frac{(2 x - 5) (x + 3)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $2 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x - 5) (x + 3)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 3}{2 x + 5}$