Алгебра Примеры

$\frac{6 x}{x + 4} + 4 = \frac{2 x + 2}{x - 1}$

Этап 1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{6 x}{x + 4} + 4 = \frac{2 (x) + 2}{x - 1}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{6 x}{x + 4} + 4 = \frac{2 (x) + 2 (1)}{x - 1}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{6 x}{x + 4} + 4 = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 4, 1, x - 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x + 4$ является само значение $x + 4$ .

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $x + 4, x - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 4) (x - 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{6 x}{x + 4} + 4 = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ умножим на $(x + 4) (x - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{6 x}{x + 4} + 4 = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ на $(x + 4) (x - 1)$ .

$\frac{6 x}{x + 4} ((x + 4) (x - 1)) + 4 ((x + 4) (x - 1)) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{x + 4} ((x + 4) (x - 1)) + 4 ((x + 4) (x - 1)) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$6 x (x - 1) + 4 ((x + 4) (x - 1)) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x \cdot x + 6 x \cdot - 1 + 4 ((x + 4) (x - 1)) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 1 + 4 ((x + 4) (x - 1)) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x^{2} + 6 x \cdot - 1 + 4 ((x + 4) (x - 1)) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $6$ .

$6 x^{2} - 6 x + 4 ((x + 4) (x - 1)) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.2.1.5

Развернем $(x + 4) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} - 6 x + 4 (x (x - 1) + 4 (x - 1)) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} - 6 x + 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 4 (x - 1)) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} - 6 x + 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 4 x + 4 \cdot - 1) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.2.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x^{2} - 6 x + 4 (x^{2} + x \cdot - 1 + 4 x + 4 \cdot - 1) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.2.1.6.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$6 x^{2} - 6 x + 4 (x^{2} - 1 \cdot x + 4 x + 4 \cdot - 1) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.2.1.6.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$6 x^{2} - 6 x + 4 (x^{2} - x + 4 x + 4 \cdot - 1) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.2.1.6.1.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$6 x^{2} - 6 x + 4 (x^{2} - x + 4 x - 4) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.2.1.6.2

Добавим $- x$ и $4 x$ .

$6 x^{2} - 6 x + 4 (x^{2} + 3 x - 4) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} - 6 x + 4 x^{2} + 4 (3 x) + 4 \cdot - 4 = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.2.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1

Умножим $3$ на $4$ .

$6 x^{2} - 6 x + 4 x^{2} + 12 x + 4 \cdot - 4 = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.2.1.8.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$6 x^{2} - 6 x + 4 x^{2} + 12 x - 16 = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $6 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$10 x^{2} - 6 x + 12 x - 16 = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $- 6 x$ и $12 x$ .

$10 x^{2} + 6 x - 16 = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x + 4) (x - 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x + 4) (x - 1)$ .

$10 x^{2} + 6 x - 16 = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x - 1) (x + 4))$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$10 x^{2} + 6 x - 16 = \frac{2 (x + 1)}{x - 1} ((x - 1) (x + 4))$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$10 x^{2} + 6 x - 16 = 2 (x + 1) (x + 4)$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x^{2} + 6 x - 16 = (2 x + 2 \cdot 1) (x + 4)$

Этап 3.3.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$10 x^{2} + 6 x - 16 = (2 x + 2) (x + 4)$

Этап 3.3.2

Развернем $(2 x + 2) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x^{2} + 6 x - 16 = 2 x (x + 4) + 2 (x + 4)$

Этап 3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x^{2} + 6 x - 16 = 2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 + 2 (x + 4)$

Этап 3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x^{2} + 6 x - 16 = 2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 + 2 x + 2 \cdot 4$

Этап 3.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$10 x^{2} + 6 x - 16 = 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 4 + 2 x + 2 \cdot 4$

Этап 3.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$10 x^{2} + 6 x - 16 = 2 x^{2} + 2 x \cdot 4 + 2 x + 2 \cdot 4$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$10 x^{2} + 6 x - 16 = 2 x^{2} + 8 x + 2 x + 2 \cdot 4$

Этап 3.3.3.1.3

Умножим $2$ на $4$ .

$10 x^{2} + 6 x - 16 = 2 x^{2} + 8 x + 2 x + 8$

Этап 3.3.3.2

Добавим $8 x$ и $2 x$ .

$10 x^{2} + 6 x - 16 = 2 x^{2} + 10 x + 8$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$10 x^{2} + 6 x - 16 - 2 x^{2} = 10 x + 8$

Этап 4.1.2

Вычтем $10 x$ из обеих частей уравнения.

$10 x^{2} + 6 x - 16 - 2 x^{2} - 10 x = 8$

Этап 4.1.3

Вычтем $2 x^{2}$ из $10 x^{2}$ .

$8 x^{2} + 6 x - 16 - 10 x = 8$

Этап 4.1.4

Вычтем $10 x$ из $6 x$ .

$8 x^{2} - 4 x - 16 = 8$

Этап 4.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$8 x^{2} - 4 x - 16 - 8 = 0$

Этап 4.3

Вычтем $8$ из $- 16$ .

$8 x^{2} - 4 x - 24 = 0$

Этап 4.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x^{2} - 4 x - 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x^{2}$ .

$4 (2 x^{2}) - 4 x - 24 = 0$

Этап 4.4.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$4 (2 x^{2}) + 4 (- x) - 24 = 0$

Этап 4.4.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 24$ .

$4 (2 x^{2}) + 4 (- x) + 4 (- 6) = 0$

Этап 4.4.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x^{2}) + 4 (- x)$ .

$4 (2 x^{2} - x) + 4 (- 6) = 0$

Этап 4.4.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x^{2} - x) + 4 (- 6)$ .

$4 (2 x^{2} - x - 6) = 0$

Этап 4.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$4 (2 x^{2} - (x) - 6) = 0$

Этап 4.4.2.1.1.2

Запишем $- 1$ как $3$ плюс $- 4$

$4 (2 x^{2} + (3 - 4) x - 6) = 0$

Этап 4.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (2 x^{2} + 3 x - 4 x - 6) = 0$

Этап 4.4.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$4 ((2 x^{2} + 3 x) - 4 x - 6) = 0$

Этап 4.4.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 (x (2 x + 3) - 2 (2 x + 3)) = 0$

Этап 4.4.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 3$ .

$4 ((2 x + 3) (x - 2)) = 0$

Этап 4.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (2 x + 3) (x - 2) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 4.6.2

Решим $2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 4.6.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 4.7

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (2 x + 3) (x - 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{3}{2}, 2$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{3}{2}, 2$

Десятичная форма:

$x = - 1.5, 2$

Форма смешанных чисел:

$x = - 1 \frac{1}{2}, 2$