Алгебра Примеры

$3 x^{2} - 1 \geq - 2 x$

Этап 1

Добавим $2 x$ к обеим частям неравенства.

$3 x^{2} - 1 + 2 x \geq 0$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$3 x^{2} - 1 + 2 x = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Этап 3.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 1 = 0$

Этап 3.2.2

Запишем $2$ как $- 1$ плюс $3$

$3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1 = 0$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1 = 0$

Этап 3.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1 = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = 0$

Этап 3.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x + 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 1) (x + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$3 {(- 4)}^{2} - 1 \geq - 2 \cdot - 4$

Этап 9.1.3

Левая часть $47$ больше правой части $8$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$3 {(0)}^{2} - 1 \geq - 2 \cdot 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$3 {(3)}^{2} - 1 \geq - 2 \cdot 3$

Этап 9.3.3

Левая часть $26$ больше правой части $- 6$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < \frac{1}{3}$ Ложь

$x > \frac{1}{3}$ Истина

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < \frac{1}{3}$ Ложь

$x > \frac{1}{3}$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 1$ или $x \geq \frac{1}{3}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - 1 or x \geq \frac{1}{3}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1] \cup [\frac{1}{3}, \infty)$

Этап 12