Алгебра Примеры

$x | x | \leq 3$

Этап 1

Запишем $x | x | \leq 3$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 1.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \cdot x \leq 3$

Этап 1.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 1.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$x (- x) \leq 3$

Этап 1.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \cdot x \leq 3 & x \geq 0 \\ x (- x) \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.6

Умножим $x$ на $x$ .

${\begin{cases} x^{2} \leq 3 & x \geq 0 \\ x (- x) \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.7

Упростим $x (- x) \leq 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${\begin{cases} x^{2} \leq 3 & x \geq 0 \\ - x \cdot x \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.7.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Перенесем $x$ .

${\begin{cases} x^{2} \leq 3 & x \geq 0 \\ - (x \cdot x) \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.7.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

${\begin{cases} x^{2} \leq 3 & x \geq 0 \\ - x^{2} \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2

Решим $x^{2} \leq 3$ , когда $x \geq 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $x^{2} \leq 3$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{3}$

Этап 2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{3}$

Этап 2.1.3

Запишем $| x | \leq \sqrt{3}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.1.3.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq \sqrt{3}$

Этап 2.1.3.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.1.3.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{3}$

Этап 2.1.3.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.1.4

Найдем пересечение $x \leq \sqrt{3}$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{3}$

Этап 2.1.5

Решим $- x \leq \sqrt{3}$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Разделим каждый член $- x \leq \sqrt{3}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1

Разделим каждый член $- x \leq \sqrt{3}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Этап 2.1.5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Этап 2.1.5.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Этап 2.1.5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{3}$

Этап 2.1.5.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{3}$ в виде $- \sqrt{3}$ .

$x \geq - \sqrt{3}$

Этап 2.1.5.2

Найдем пересечение $x \geq - \sqrt{3}$ и $x < 0$ .

$- \sqrt{3} \leq x < 0$

Этап 2.1.6

Найдем объединение решений.

$- \sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3}$

Этап 2.2

Найдем пересечение $- \sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3}$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{3}$

Этап 3

Решим $- x^{2} \leq 3$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- x^{2} \leq 3$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- x^{2} \leq 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Разделим каждый член $- x^{2} \leq 3$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \geq \frac{3}{- 1}$

Этап 3.1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \geq \frac{3}{- 1}$

Этап 3.1.1.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \geq \frac{3}{- 1}$

Этап 3.1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Разделим $3$ на $- 1$ .

$x^{2} \geq - 3$

Этап 3.1.2

Поскольку левая часть имеет четную степень, она всегда положительна для всех вещественных чисел.

Все вещественные числа

Этап 3.2

Найдем пересечение.

$x < 0$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$x \leq \sqrt{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq \sqrt{3}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \sqrt{3}]$

Этап 6