Алгебра Примеры

$9^{x + \frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $9^{x + \frac{1}{2}}$ в виде $9^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}}$ .

$9^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Этап 1.2

Перепишем $9^{x}$ в виде ${(3^{2})}^{x}$ .

${(3^{2})}^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Этап 1.3

Перепишем ${(3^{2})}^{x}$ в виде ${(3^{x})}^{2}$ .

${(3^{x})}^{2} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Этап 1.4

Пусть $u = 3^{x}$ . Подставим $u$ вместо $3^{x}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$u^{2} \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot u + 1 = 0$

Этап 1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{2} \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 4 \cdot u + 1 = 0$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$u^{2} \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 4 \cdot u + 1 = 0$

Этап 1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$u^{2} \cdot 3 - 4 \cdot u + 1 = 0$

Этап 1.4.4

Найдем экспоненту.

$u^{2} \cdot 3 - 4 \cdot u + 1 = 0$

Этап 1.4.5

Перенесем $3$ влево от $u^{2}$ .

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Этап 1.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 u$ .

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Этап 1.5.1.2

Запишем $- 4$ как $- 1$ плюс $- 3$

$3 u^{2} + (- 1 - 3) u + 1 = 0$

Этап 1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 u^{2} - 1 u - 3 u + 1 = 0$

Этап 1.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 u^{2} - 1 u) - 3 u + 1 = 0$

Этап 1.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (3 u - 1) - (3 u - 1) = 0$

Этап 1.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u - 1) = 0$

Этап 1.6

Заменим все вхождения $u$ на $3^{x}$ .

$(3 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

$3^{x} - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $3 \cdot 3^{x} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $3 \cdot 3^{x} - 1$ к $0$ .

$3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $3$ на $3^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$3^{1} \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Этап 3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3^{1 + x} - 1 = 0$

Этап 3.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3^{1 + x} = 1$

Этап 3.2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{1 + x}) = \ln (1)$

Этап 3.2.4

Развернем $\ln (3^{1 + x})$ , вынося $1 + x$ из логарифма.

$(1 + x) \ln (3) = \ln (1)$

Этап 3.2.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Упростим $(1 + x) \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

Этап 3.2.5.1.2

Умножим $\ln (3)$ на $1$ .

$\ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

Этап 3.2.6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\ln (3) + x \ln (3) = 0$

Этап 3.2.7

Изменим порядок $\ln (3)$ и $x \ln (3)$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = 0$

Этап 3.2.8

Вычтем $\ln (3)$ из обеих частей уравнения.

$x \ln (3) = - \ln (3)$

Этап 3.2.9

Разделим каждый член $x \ln (3) = - \ln (3)$ на $\ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1

Разделим каждый член $x \ln (3) = - \ln (3)$ на $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Этап 3.2.9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Этап 3.2.9.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Этап 3.2.9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.3.1

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Этап 3.2.9.3.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$x = - 1$

Этап 4

Приравняем $3^{x} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3^{x} - 1$ к $0$ .

$3^{x} - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $3^{x} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3^{x} = 1$

Этап 4.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Этап 4.2.3

Развернем $\ln (3^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Этап 4.2.5

Разделим каждый член $x \ln (3) = 0$ на $\ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Разделим каждый член $x \ln (3) = 0$ на $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Этап 4.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Этап 4.2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Этап 4.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.3.1

Разделим $0$ на $\ln (3)$ .

$x = 0$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$ верно.

$x = - 1, 0$