Алгебра Примеры

$\sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt[3]{64 a^{3}}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{64 a^{3}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}}$ .

$\sqrt[3]{64 a^{3}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{64 a^{3}}}^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{64 a^{3}}$ в виде ${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(64 a^{3})}^{1} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$64 a^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{25 + 12^{2}}}^{3}$

Этап 3.3.1.2

Возведем $12$ в степень $2$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{25 + 144}}^{3}$

Этап 3.3.1.3

Добавим $25$ и $144$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{169}}^{3}$

Этап 3.3.1.4

Перепишем $169$ в виде $13^{2}$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{13^{2}}}^{3}$

Этап 3.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$64 a^{3} = 13^{3}$

Этап 3.3.1.6

Возведем $13$ в степень $3$ .

$64 a^{3} = 2197$

Этап 4

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $2197$ из обеих частей уравнения.

$64 a^{3} - 2197 = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $64 a^{3}$ в виде ${(4 a)}^{3}$ .

${(4 a)}^{3} - 2197 = 0$

Этап 4.2.2

Перепишем $2197$ в виде $13^{3}$ .

${(4 a)}^{3} - 13^{3} = 0$

Этап 4.2.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 4 a$ и $b = 13$ .

$(4 a - 13) ({(4 a)}^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Этап 4.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Применим правило умножения к $4 a$ .

$(4 a - 13) (4^{2} a^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Этап 4.2.4.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Этап 4.2.4.3

Умножим $13$ на $4$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 13^{2}) = 0$

Этап 4.2.4.4

Возведем $13$ в степень $2$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 169) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 a - 13 = 0$

$16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $4 a - 13$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $4 a - 13$ к $0$ .

$4 a - 13 = 0$

Этап 4.4.2

Решим $4 a - 13 = 0$ относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Добавим $13$ к обеим частям уравнения.

$4 a = 13$

Этап 4.4.2.2

Разделим каждый член $4 a = 13$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Разделим каждый член $4 a = 13$ на $4$ .

$\frac{4 a}{4} = \frac{13}{4}$

Этап 4.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 a}{4} = \frac{13}{4}$

Этап 4.4.2.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{13}{4}$

Этап 4.5

Приравняем $16 a^{2} + 52 a + 169$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $16 a^{2} + 52 a + 169$ к $0$ .

$16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$

Этап 4.5.2

Решим $16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$ относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5.2.2

Подставим значения $a = 16$ , $b = 52$ и $c = 169$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $a$ .

$\frac{- 52 \pm \sqrt{52^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 169)}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1.1

Возведем $52$ в степень $2$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 4 \cdot 16 \cdot 169}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 16 \cdot 169$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 64 \cdot 169}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 64$ на $169$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 10816}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.5.2.3.1.3

Вычтем $10816$ из $2704$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 8112}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.5.2.3.1.4

Перепишем $- 8112$ в виде $- 1 (8112)$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8112}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (8112)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8112}$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8112}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{8112}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.5.2.3.1.7

Перепишем $8112$ в виде $52^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $2704$ из $8112$ .

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{2704 (3)}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.5.2.3.1.7.2

Перепишем $2704$ в виде $52^{2}$ .

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{52^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot (52 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Этап 4.5.2.3.1.9

Перенесем $52$ влево от $i$ .

$a = \frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.5.2.3.2

Умножим $2$ на $16$ .

$a = \frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{32}$

Этап 4.5.2.3.3

Упростим $\frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 13 \pm 13 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 4.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$a = - \frac{13 - 13 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{13 + 13 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 169) = 0$ верно.

$a = \frac{13}{4}, - \frac{13 - 13 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{13 + 13 i \sqrt{3}}{8}$