Алгебра Примеры

$f (x) = e^{x} - 3$

Этап 1

Запишем $f (x) = e^{x} - 3$ в виде уравнения.

$y = e^{x} - 3$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = e^{y} - 3$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $e^{y} - 3 = x$ .

$e^{y} - 3 = x$

Этап 3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$e^{y} = x + 3$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (x + 3)$

Этап 3.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (x + 3)$

Этап 3.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x + 3)$

Этап 3.4.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (x + 3)$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$ обратной к $f (x) = e^{x} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (e^{x} - 3)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln ((e^{x} - 3) + 3)$

Этап 5.2.3

Объединим противоположные члены в $(e^{x} - 3) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln (e^{x} + 0)$

Этап 5.2.3.2

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln (e^{x})$

Этап 5.2.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x \ln (e)$

Этап 5.2.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x \cdot 1$

Этап 5.2.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\ln (x + 3))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\ln (x + 3)) = e^{\ln (x + 3)} - 3$

Этап 5.3.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (x + 3)) = x + 3 - 3$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (\ln (x + 3)) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\ln (x + 3)) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$ — обратная к $f (x) = e^{x} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$