Алгебра Примеры

$- \frac{3}{x - 1} + \frac{5}{x - 3} = - \frac{1}{x^{2} - 4 x + 3}$

Этап 1

Разложим $x^{2} - 4 x + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $- 4$ .

$- 3, - 1$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- \frac{3}{x - 1} + \frac{5}{x - 3} = - \frac{1}{(x - 3) (x - 1)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 1, x - 3, (x - 3) (x - 1)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x - 3$ является само значение $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x - 1, x - 3, x - 3, x - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 1) (x - 3)$

Этап 3

Каждый член в $- \frac{3}{x - 1} + \frac{5}{x - 3} = - \frac{1}{(x - 3) (x - 1)}$ умножим на $(x - 1) (x - 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $- \frac{3}{x - 1} + \frac{5}{x - 3} = - \frac{1}{(x - 3) (x - 1)}$ на $(x - 1) (x - 3)$ .

$- \frac{3}{x - 1} ((x - 1) (x - 3)) + \frac{5}{x - 3} ((x - 1) (x - 3)) = - \frac{1}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 1) (x - 3))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{x - 1}$ в числитель.

$\frac{- 3}{x - 1} ((x - 1) (x - 3)) + \frac{5}{x - 3} ((x - 1) (x - 3)) = - \frac{1}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 1) (x - 3))$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3}{x - 1} ((x - 1) (x - 3)) + \frac{5}{x - 3} ((x - 1) (x - 3)) = - \frac{1}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 1) (x - 3))$

Этап 3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- 3 (x - 3) + \frac{5}{x - 3} ((x - 1) (x - 3)) = - \frac{1}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 1) (x - 3))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x - 3 \cdot - 3 + \frac{5}{x - 3} ((x - 1) (x - 3)) = - \frac{1}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 1) (x - 3))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$- 3 x + 9 + \frac{5}{x - 3} ((x - 1) (x - 3)) = - \frac{1}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 1) (x - 3))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $x - 3$ из $(x - 1) (x - 3)$ .

$- 3 x + 9 + \frac{5}{x - 3} ((x - 3) (x - 1)) = - \frac{1}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 1) (x - 3))$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$- 3 x + 9 + \frac{5}{x - 3} ((x - 3) (x - 1)) = - \frac{1}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 1) (x - 3))$

Этап 3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$- 3 x + 9 + 5 (x - 1) = - \frac{1}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 1) (x - 3))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x + 9 + 5 x + 5 \cdot - 1 = - \frac{1}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 1) (x - 3))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 3 x + 9 + 5 x - 5 = - \frac{1}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 1) (x - 3))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $- 3 x$ и $5 x$ .

$2 x + 9 - 5 = - \frac{1}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 1) (x - 3))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $5$ из $9$ .

$2 x + 4 = - \frac{1}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 1) (x - 3))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(x - 1) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(x - 3) (x - 1)}$ в числитель.

$2 x + 4 = \frac{- 1}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 1) (x - 3))$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $(x - 1) (x - 3)$ из $(x - 3) (x - 1)$ .

$2 x + 4 = \frac{- 1}{(x - 1) (x - 3) (1)} ((x - 1) (x - 3))$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель.

$2 x + 4 = \frac{- 1}{(x - 1) (x - 3) \cdot 1} ((x - 1) (x - 3))$

Этап 3.3.1.4

Перепишем это выражение.

$2 x + 4 = - 1$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1 - 4$

Этап 4.1.2

Вычтем $4$ из $- 1$ .

$2 x = - 5$

Этап 4.2

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{5}{2}$

Десятичная форма:

$x = - 2.5$

Форма смешанных чисел:

$x = - 2 \frac{1}{2}$