Алгебра Примеры

${(1 + \sqrt{3 i})}^{4}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$1^{4} + 4 \cdot 1^{3} \sqrt{3 i} + 6 \cdot 1^{2} {\sqrt{3 i}}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 4 \cdot 1^{3} \sqrt{3 i} + 6 \cdot 1^{2} {\sqrt{3 i}}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 4 \cdot 1 \sqrt{3 i} + 6 \cdot 1^{2} {\sqrt{3 i}}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 6 \cdot 1^{2} {\sqrt{3 i}}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 6 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.5

Умножим $6$ на $1$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 6 {\sqrt{3 i}}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.6

Перепишем ${\sqrt{3 i}}^{2}$ в виде $3 i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 i}$ в виде ${(3 i)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 6 {({(3 i)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 6 {(3 i)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 6 {(3 i)}^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 6 {(3 i)}^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 6 {(3 i)}^{1} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.6.5

Упростим.

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 6 (3 i) + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.7

Умножим $3$ на $6$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.8

Умножим $4$ на $1$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.9

Перепишем ${\sqrt{3 i}}^{3}$ в виде $\sqrt{{(3 i)}^{3}}$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{{(3 i)}^{3}} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.10

Применим правило умножения к $3 i$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{3^{3} i^{3}} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.11

Возведем $3$ в степень $3$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{27 i^{3}} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.12

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{27 (i^{2} \cdot i)} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.13

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{27 (- 1 \cdot i)} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.14

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{27 \cdot - 1 i} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.15

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{- (27 i)} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.15.2

Умножим $27$ на $- 1$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{- 27 i} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.16

Перепишем $- 27 i$ в виде ${(3 i)}^{2} \cdot (3 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 27$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{- 9 (3) i} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.16.2

Перепишем $- 9$ в виде ${(3 i)}^{2}$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{{(3 i)}^{2} \cdot 3 i} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.16.3

Добавим круглые скобки.

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{{(3 i)}^{2} \cdot (3 i)} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.17

Вынесем члены из-под знака корня.

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 (3 i \sqrt{3 i}) + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.18

Умножим $3$ на $4$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 (i \sqrt{3 i}) + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Этап 2.1.19

Перепишем ${\sqrt{3 i}}^{4}$ в виде ${(3 i)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.19.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 i}$ в виде ${(3 i)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + {({(3 i)}^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Этап 2.1.19.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + {(3 i)}^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Этап 2.1.19.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + {(3 i)}^{\frac{4}{2}}$

Этап 2.1.19.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.19.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + {(3 i)}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.1.19.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.19.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + {(3 i)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Этап 2.1.19.4.2.2

Сократим общий множитель.

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + {(3 i)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Этап 2.1.19.4.2.3

Перепишем это выражение.

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + {(3 i)}^{\frac{2}{1}}$

Этап 2.1.19.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + {(3 i)}^{2}$

Этап 2.1.20

Применим правило умножения к $3 i$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + 3^{2} i^{2}$

Этап 2.1.21

Возведем $3$ в степень $2$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + 9 i^{2}$

Этап 2.1.22

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + 9 \cdot - 1$

Этап 2.1.23

Умножим $9$ на $- 1$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} - 9$

Этап 2.2

Вычтем $9$ из $1$ .

$- 8 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i}$