Алгебра Примеры

$(y - 1) (y - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1

Упростим $(y - 1) (y - 2) (y - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (y - 1) (y - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(y - 1) (y - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.3

Развернем $(y - 1) (y - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(y (y - 2) - 1 (y - 2)) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(y \cdot y + y \cdot - 2 - 1 (y - 2)) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(y \cdot y + y \cdot - 2 - 1 y - 1 \cdot - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$(y^{2} + y \cdot - 2 - 1 y - 1 \cdot - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.4.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $y$ .

$(y^{2} - 2 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.4.1.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$(y^{2} - 2 y - y - 1 \cdot - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.4.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$(y^{2} - 2 y - y + 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.4.2

Вычтем $y$ из $- 2 y$ .

$(y^{2} - 3 y + 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.5

Развернем $(y^{2} - 3 y + 2) (y - 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$y^{2} y + y^{2} \cdot - 3 - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1.1

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot - 3 - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.6.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{2 + 1} + y^{2} \cdot - 3 - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.6.1.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$y^{3} + y^{2} \cdot - 3 - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.6.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $y^{2}$ .

$y^{3} - 3 \cdot y^{2} - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.6.1.3

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.3.1

Перенесем $y$ .

$y^{3} - 3 y^{2} - 3 (y \cdot y) - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.6.1.3.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{3} - 3 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.6.1.4

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$y^{3} - 3 y^{2} - 3 y^{2} + 9 y + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.6.1.5

Умножим $2$ на $- 3$ .

$y^{3} - 3 y^{2} - 3 y^{2} + 9 y + 2 y - 6 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.6.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Вычтем $3 y^{2}$ из $- 3 y^{2}$ .

$y^{3} - 6 y^{2} + 9 y + 2 y - 6 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.6.2.2

Добавим $9 y$ и $2 y$ .

$y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $y^{3}$ из обеих частей уравнения.

$y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 - y^{3} = - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 2.2

Добавим $3 y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 - y^{3} + 3 y^{2} = 2 y$

Этап 2.3

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 - y^{3} + 3 y^{2} - 2 y = 0$

Этап 2.4

Объединим противоположные члены в $y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 - y^{3} + 3 y^{2} - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $y^{3}$ из $y^{3}$ .

$- 6 y^{2} + 11 y - 6 + 0 + 3 y^{2} - 2 y = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 6 y^{2} + 11 y - 6$ и $0$ .

$- 6 y^{2} + 11 y - 6 + 3 y^{2} - 2 y = 0$

Этап 2.5

Добавим $- 6 y^{2}$ и $3 y^{2}$ .

$- 3 y^{2} + 11 y - 6 - 2 y = 0$

Этап 2.6

Вычтем $2 y$ из $11 y$ .

$- 3 y^{2} + 9 y - 6 = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 y^{2} + 9 y - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 y^{2}$ .

$- 3 y^{2} + 9 y - 6 = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $- 3$ из $9 y$ .

$- 3 y^{2} - 3 (- 3 y) - 6 = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $- 3$ из $- 6$ .

$- 3 y^{2} - 3 (- 3 y) - 3 \cdot 2 = 0$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (y^{2}) - 3 (- 3 y)$ .

$- 3 (y^{2} - 3 y) - 3 \cdot 2 = 0$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (y^{2} - 3 y) - 3 (2)$ .

$- 3 (y^{2} - 3 y + 2) = 0$

Этап 3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разложим $y^{2} - 3 y + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 3 ((y - 2) (y - 1)) = 0$

Этап 3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 (y - 2) (y - 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 2 = 0$

$y - 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $y - 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $y - 2$ к $0$ .

$y - 2 = 0$

Этап 5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2$

Этап 6

Приравняем $y - 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $y - 1$ к $0$ .

$y - 1 = 0$

Этап 6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 1$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 3 (y - 2) (y - 1) = 0$ верно.

$y = 2, 1$