Алгебра Примеры

$\frac{\tan^{2} (a) - \sin^{2} (a)}{\tan^{2} (a)}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \tan (a)$ и $b = \sin (a)$ .

$\frac{(\tan (a) + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Выразим $\tan (a)$ через синусы и косинусы.

$\frac{(\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $\sin (a)$ из $\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $\sin (a)$ из $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{(\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Этап 1.2.2.2

Умножим на $1$ .

$\frac{(\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot 1) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $\sin (a)$ из $\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Этап 1.2.3

Выразим $\tan (a)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $\sin (a)$ из $\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вынесем множитель $\sin (a)$ из $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Этап 1.2.4.2

Вынесем множитель $\sin (a)$ из $- \sin (a)$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Этап 1.2.4.3

Вынесем множитель $\sin (a)$ из $\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} - 1))}{\tan^{2} (a)}$

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) \sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Этап 1.2.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Возведем $\sin (a)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Этап 1.2.5.2

Возведем $\sin (a)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Этап 1.2.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (a)}^{1 + 1} (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Этап 1.2.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\tan (a)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{{(\frac{\sin (a)}{\cos (a)})}^{2}}$

Этап 2.2

Применим правило умножения к $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos^{2} (a)}}$

Этап 3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Этап 4

Сократим общий множитель $\sin^{2} (a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $\sin^{2} (a)$ из $\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)$ .

$\sin^{2} (a) ((\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$\sin^{2} (a) ((\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Этап 4.3

Перепишем это выражение.

$(\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

Этап 5

Развернем $(\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{1}{\cos (a)} (\frac{1}{\cos (a)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \cos^{2} (a)$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \cos^{2} (a)$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Умножим $\frac{1}{\cos (a)}$ на $\frac{1}{\cos (a)}$ .

$(\frac{1}{\cos (a) \cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Этап 6.1.1.2

Возведем $\cos (a)$ в степень $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (a) \cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Этап 6.1.1.3

Возведем $\cos (a)$ в степень $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (a) \cos^{1} (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Этап 6.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(\frac{1}{{\cos (a)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Этап 6.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Этап 6.1.2

Объединим $\frac{1}{\cos (a)}$ и $- 1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + \frac{- 1}{\cos (a)} + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Этап 6.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Этап 6.1.4

Умножим $\frac{1}{\cos (a)}$ на $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Этап 6.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

Этап 6.2

Добавим $- \frac{1}{\cos (a)}$ и $\frac{1}{\cos (a)}$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + 0 - 1) \cos^{2} (a)$

Этап 6.3

Добавим $\frac{1}{\cos^{2} (a)}$ и $0$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos^{2} (a)} \cos^{2} (a) - 1 \cos^{2} (a)$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $\cos^{2} (a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\cos^{2} (a)} \cos^{2} (a) - 1 \cos^{2} (a)$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$1 - 1 \cos^{2} (a)$

Этап 7.3

Перепишем $- 1 \cos^{2} (a)$ в виде $- \cos^{2} (a)$ .

$1 - \cos^{2} (a)$

Этап 8

Применим формулу Пифагора.

$\sin^{2} (a)$