Алгебра Примеры

$y = 3 \sqrt[3]{x} + 9$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 3 \sqrt[3]{y} + 9$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $3 \sqrt[3]{y} + 9 = x$ .

$3 \sqrt[3]{y} + 9 = x$

Этап 2.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$3 \sqrt[3]{y} = x - 9$

Этап 2.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{y})}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

Этап 2.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y}$ в виде $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим ${(3 y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Применим правило умножения к $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

Этап 2.4.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

Этап 2.4.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

Этап 2.4.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

Этап 2.4.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 y^{1} = {(x - 9)}^{3}$

Этап 2.4.2.1.4

Упростим.

$27 y = {(x - 9)}^{3}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим ${(x - 9)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$27 y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 9 + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

Этап 2.4.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.2.1

Умножим $- 9$ на $3$ .

$27 y = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

Этап 2.4.3.1.2.2

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$27 y = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x \cdot 81 + {(- 9)}^{3}$

Этап 2.4.3.1.2.3

Умножим $81$ на $3$ .

$27 y = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x + {(- 9)}^{3}$

Этап 2.4.3.1.2.4

Возведем $- 9$ в степень $3$ .

$27 y = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$

Этап 2.5

Разделим каждый член $27 y = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $27 y = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$ на $27$ .

$\frac{27 y}{27} = \frac{x^{3}}{27} + \frac{- 27 x^{2}}{27} + \frac{243 x}{27} + \frac{- 729}{27}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 y}{27} = \frac{x^{3}}{27} + \frac{- 27 x^{2}}{27} + \frac{243 x}{27} + \frac{- 729}{27}$

Этап 2.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{- 27 x^{2}}{27} + \frac{243 x}{27} + \frac{- 729}{27}$

Этап 2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Сократим общий множитель $- 27$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $27$ из $- 27 x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{27 (- x^{2})}{27} + \frac{243 x}{27} + \frac{- 729}{27}$

Этап 2.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $27$ из $27$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{27 (- x^{2})}{27 (1)} + \frac{243 x}{27} + \frac{- 729}{27}$

Этап 2.5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{27 (- x^{2})}{27 \cdot 1} + \frac{243 x}{27} + \frac{- 729}{27}$

Этап 2.5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{- x^{2}}{1} + \frac{243 x}{27} + \frac{- 729}{27}$

Этап 2.5.3.1.1.2.4

Разделим $- x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} - x^{2} + \frac{243 x}{27} + \frac{- 729}{27}$

Этап 2.5.3.1.2

Сократим общий множитель $243$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $27$ из $243 x$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} - x^{2} + \frac{27 (9 x)}{27} + \frac{- 729}{27}$

Этап 2.5.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $27$ из $27$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} - x^{2} + \frac{27 (9 x)}{27 (1)} + \frac{- 729}{27}$

Этап 2.5.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{3}}{27} - x^{2} + \frac{27 (9 x)}{27 \cdot 1} + \frac{- 729}{27}$

Этап 2.5.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{3}}{27} - x^{2} + \frac{9 x}{1} + \frac{- 729}{27}$

Этап 2.5.3.1.2.2.4

Разделим $9 x$ на $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x + \frac{- 729}{27}$

Этап 2.5.3.1.3

Разделим $- 729$ на $27$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27$ обратной к $f (x) = 3 \sqrt[3]{x} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{3}}{27} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt[3]{x} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = \frac{{(3 (\sqrt[3]{x}) + 9)}^{3}}{27} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot 3)}^{3}}{27} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot 3$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = \frac{{(3 (\sqrt[3]{x} + 3))}^{3}}{27} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.1.2

Применим правило умножения к $3 (\sqrt[3]{x} + 3)$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = \frac{3^{3} {(\sqrt[3]{x} + 3)}^{3}}{27} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = \frac{27 {(\sqrt[3]{x} + 3)}^{3}}{27} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.2

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = \frac{27 {(\sqrt[3]{x} + 3)}^{3}}{27} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.2.2

Разделим ${(\sqrt[3]{x} + 3)}^{3}$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = {(\sqrt[3]{x} + 3)}^{3} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 3 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 3^{2} + 3^{3} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.1

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 3 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 3^{2} + 3^{3} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 3 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 3^{2} + 3^{3} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.4.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 3 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 3^{2} + 3^{3} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.4.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 3 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 3^{2} + 3^{3} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 3 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 3^{2} + 3^{3} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.4.1.5

Упростим.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 3 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 3^{2} + 3^{3} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.4.2

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 3 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 3^{2} + 3^{3} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.4.3

Умножим $3$ на $3$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 3^{2} + 3^{3} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.4.4

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.4.1

Перенесем $3^{2}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 3^{2} \cdot (3 \sqrt[3]{x}) + 3^{3} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.4.4.2

Умножим $3^{2}$ на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.4.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 3^{2} \cdot (3 \sqrt[3]{x}) + 3^{3} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.4.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 3^{2 + 1} \sqrt[3]{x} + 3^{3} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.4.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 3^{3} \sqrt[3]{x} + 3^{3} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.4.5

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 3^{3} - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.4.6

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - {(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2} + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.5

Перепишем ${(3 \sqrt[3]{x} + 9)}^{2}$ в виде $(3 \sqrt[3]{x} + 9) (3 \sqrt[3]{x} + 9)$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - ((3 \sqrt[3]{x} + 9) (3 \sqrt[3]{x} + 9)) + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.6

Развернем $(3 \sqrt[3]{x} + 9) (3 \sqrt[3]{x} + 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - (3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x} + 9) + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9)) + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - (3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x}) + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 9 + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9)) + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - (3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x}) + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 9 + 9 (3 \sqrt[3]{x}) + 9 \cdot 9) + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.7.1.1

Умножим $3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.7.1.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - (9 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 9 + 9 (3 \sqrt[3]{x}) + 9 \cdot 9) + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.7.1.1.2

Возведем $\sqrt[3]{x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - (9 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 9 + 9 (3 \sqrt[3]{x}) + 9 \cdot 9) + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.7.1.1.3

Возведем $\sqrt[3]{x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - (9 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 9 + 9 (3 \sqrt[3]{x}) + 9 \cdot 9) + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.7.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - (9 {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 9 + 9 (3 \sqrt[3]{x}) + 9 \cdot 9) + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.7.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - (9 {\sqrt[3]{x}}^{2} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 9 + 9 (3 \sqrt[3]{x}) + 9 \cdot 9) + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.7.1.2

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - (9 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 9 + 9 (3 \sqrt[3]{x}) + 9 \cdot 9) + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.7.1.3

Умножим $9$ на $3$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - (9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 9 (3 \sqrt[3]{x}) + 9 \cdot 9) + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.7.1.4

Умножим $3$ на $9$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - (9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x} + 9 \cdot 9) + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.7.1.5

Умножим $9$ на $9$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - (9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x} + 81) + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.7.2

Добавим $27 \sqrt[3]{x}$ и $27 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - (9 \sqrt[3]{x^{2}} + 54 \sqrt[3]{x} + 81) + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - (9 \sqrt[3]{x^{2}}) - (54 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot 81 + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.9.1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - 9 \sqrt[3]{x^{2}} - (54 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot 81 + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.9.2

Умножим $54$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - 9 \sqrt[3]{x^{2}} - 54 \sqrt[3]{x} - 1 \cdot 81 + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.9.3

Умножим $- 1$ на $81$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - 9 \sqrt[3]{x^{2}} - 54 \sqrt[3]{x} - 81 + 9 (3 \sqrt[3]{x} + 9) - 27$

Этап 4.2.3.10

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - 9 \sqrt[3]{x^{2}} - 54 \sqrt[3]{x} - 81 + 9 (3 \sqrt[3]{x}) + 9 \cdot 9 - 27$

Этап 4.2.3.11

Умножим $3$ на $9$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - 9 \sqrt[3]{x^{2}} - 54 \sqrt[3]{x} - 81 + 27 \sqrt[3]{x} + 9 \cdot 9 - 27$

Этап 4.2.3.12

Умножим $9$ на $9$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - 9 \sqrt[3]{x^{2}} - 54 \sqrt[3]{x} - 81 + 27 \sqrt[3]{x} + 81 - 27$

Этап 4.2.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Объединим противоположные члены в $x + 9 \sqrt[3]{x^{2}} + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - 9 \sqrt[3]{x^{2}} - 54 \sqrt[3]{x} - 81 + 27 \sqrt[3]{x} + 81 - 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Вычтем $9 \sqrt[3]{x^{2}}$ из $9 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 0 + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - 54 \sqrt[3]{x} - 81 + 27 \sqrt[3]{x} + 81 - 27$

Этап 4.2.4.1.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - 54 \sqrt[3]{x} - 81 + 27 \sqrt[3]{x} + 81 - 27$

Этап 4.2.4.1.3

Добавим $- 81$ и $81$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - 54 \sqrt[3]{x} + 0 + 27 \sqrt[3]{x} - 27$

Этап 4.2.4.1.4

Добавим $x + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - 54 \sqrt[3]{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 27 \sqrt[3]{x} + 27 - 54 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x} - 27$

Этап 4.2.4.1.5

Вычтем $27$ из $27$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 27 \sqrt[3]{x} + 0 - 54 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x}$

Этап 4.2.4.1.6

Добавим $x + 27 \sqrt[3]{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 27 \sqrt[3]{x} - 54 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x}$

Этап 4.2.4.2

Вычтем $54 \sqrt[3]{x}$ из $27 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x - 27 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x}$

Этап 4.2.4.3

Объединим противоположные члены в $x - 27 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1

Добавим $- 27 \sqrt[3]{x}$ и $27 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x + 0$

Этап 4.2.4.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} + 9) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27} + 9$

Этап 4.3.3

Избавимся от скобок.

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27} + 9$

Этап 4.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Чтобы записать $- x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} - x^{2} \cdot \frac{27}{27} + 9 x - 27} + 9$

Этап 4.3.4.2

Объединим $- x^{2}$ и $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} + \frac{- x^{2} \cdot 27}{27} + 9 x - 27} + 9$

Этап 4.3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3} - x^{2} \cdot 27}{27} + 9 x - 27} + 9$

Этап 4.3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} - x^{2} \cdot 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x - x^{2} \cdot 27}{27} + 9 x - 27} + 9$

Этап 4.3.4.4.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2} \cdot 27$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x + x^{2} (- 1 \cdot 27)}{27} + 9 x - 27} + 9$

Этап 4.3.4.4.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x + x^{2} (- 1 \cdot 27)$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x - 1 \cdot 27)}{27} + 9 x - 27} + 9$

Этап 4.3.4.4.2

Умножим $- 1$ на $27$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x - 27)}{27} + 9 x - 27} + 9$

Этап 4.3.4.5

Чтобы записать $9 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x - 27)}{27} + 9 x \cdot \frac{27}{27} - 27} + 9$

Этап 4.3.4.6

Объединим $9 x$ и $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x - 27)}{27} + \frac{9 x \cdot 27}{27} - 27} + 9$

Этап 4.3.4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x - 27) + 9 x \cdot 27}{27} - 27} + 9$

Этап 4.3.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.8.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (x - 27) + 9 x \cdot 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.8.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (x - 27)$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x (x (x - 27)) + 9 x \cdot 27}{27} - 27} + 9$

Этап 4.3.4.8.1.2

Вынесем множитель $x$ из $9 x \cdot 27$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x (x (x - 27)) + x (9 \cdot 27)}{27} - 27} + 9$

Этап 4.3.4.8.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x (x - 27)) + x (9 \cdot 27)$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x (x (x - 27) + 9 \cdot 27)}{27} - 27} + 9$

Этап 4.3.4.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 27 + 9 \cdot 27)}{27} - 27} + 9$

Этап 4.3.4.8.3

Умножим $x$ на $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + x \cdot - 27 + 9 \cdot 27)}{27} - 27} + 9$

Этап 4.3.4.8.4

Перенесем $- 27$ влево от $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} - 27 \cdot x + 9 \cdot 27)}{27} - 27} + 9$

Этап 4.3.4.8.5

Умножим $9$ на $27$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} - 27 x + 243)}{27} - 27} + 9$

Этап 4.3.4.9

Чтобы записать $- 27$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} - 27 x + 243)}{27} - 27 \cdot \frac{27}{27}} + 9$

Этап 4.3.4.10

Объединим $- 27$ и $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} - 27 x + 243)}{27} + \frac{- 27 \cdot 27}{27}} + 9$

Этап 4.3.4.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} - 27 x + 243) - 27 \cdot 27}{27}} + 9$

Этап 4.3.4.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x \cdot x^{2} + x (- 27 x) + x \cdot 243 - 27 \cdot 27}{27}} + 9$

Этап 4.3.4.12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.12.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.12.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.12.2.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x \cdot x^{2} + x (- 27 x) + x \cdot 243 - 27 \cdot 27}{27}} + 9$

Этап 4.3.4.12.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{1 + 2} + x (- 27 x) + x \cdot 243 - 27 \cdot 27}{27}} + 9$

Этап 4.3.4.12.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + x (- 27 x) + x \cdot 243 - 27 \cdot 27}{27}} + 9$

Этап 4.3.4.12.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3} - 27 x \cdot x + x \cdot 243 - 27 \cdot 27}{27}} + 9$

Этап 4.3.4.12.2.3

Перенесем $243$ влево от $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3} - 27 x \cdot x + 243 \cdot x - 27 \cdot 27}{27}} + 9$

Этап 4.3.4.12.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.12.3.1

Перенесем $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3} - 27 (x \cdot x) + 243 \cdot x - 27 \cdot 27}{27}} + 9$

Этап 4.3.4.12.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3} - 27 x^{2} + 243 \cdot x - 27 \cdot 27}{27}} + 9$

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 27 \cdot 27}{27}} + 9$

Этап 4.3.4.12.4

Умножим $- 27$ на $27$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729}{27}} + 9$

Этап 4.3.4.12.5

Перепишем $x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.12.5.1

Разложим $x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.12.5.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 729, \pm 3, \pm 243, \pm 9, \pm 81, \pm 27$

$q = \pm 1$

Этап 4.3.4.12.5.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 729, \pm 3, \pm 243, \pm 9, \pm 81, \pm 27$

Этап 4.3.4.12.5.1.3

Подставим $9$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $9$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.12.5.1.3.1

Подставим $9$ в многочлен.

$9^{3} - 27 \cdot 9^{2} + 243 \cdot 9 - 729$

Этап 4.3.4.12.5.1.3.2

Возведем $9$ в степень $3$ .

$729 - 27 \cdot 9^{2} + 243 \cdot 9 - 729$

Этап 4.3.4.12.5.1.3.3

Возведем $9$ в степень $2$ .

$729 - 27 \cdot 81 + 243 \cdot 9 - 729$

Этап 4.3.4.12.5.1.3.4

Умножим $- 27$ на $81$ .

$729 - 2187 + 243 \cdot 9 - 729$

Этап 4.3.4.12.5.1.3.5

Вычтем $2187$ из $729$ .

$- 1458 + 243 \cdot 9 - 729$

Этап 4.3.4.12.5.1.3.6

Умножим $243$ на $9$ .

$- 1458 + 2187 - 729$

Этап 4.3.4.12.5.1.3.7

Добавим $- 1458$ и $2187$ .

$729 - 729$

Этап 4.3.4.12.5.1.3.8

Вычтем $729$ из $729$ .

$0$

Этап 4.3.4.12.5.1.4

Поскольку $9$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 9$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729}{x - 9}$

Этап 4.3.4.12.5.1.5

Разделим $x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$ на $x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.12.5.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$9$

$x^{3}$

$27 x^{2}$

$243 x$

$729$

Этап 4.3.4.12.5.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$

Этап 4.3.4.12.5.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			+	$x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Этап 4.3.4.12.5.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 9 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$

Этап 4.3.4.12.5.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$

Этап 4.3.4.12.5.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$

Этап 4.3.4.12.5.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 18 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$18 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$

Этап 4.3.4.12.5.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$18 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					-	$18 x^{2}$	+	$162 x$

Этап 4.3.4.12.5.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 18 x^{2} + 162 x$ .

				$x^{2}$	-	$18 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$

Этап 4.3.4.12.5.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$18 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$
							+	$81 x$

Этап 4.3.4.12.5.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$18 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$
							+	$81 x$	-	$729$

Этап 4.3.4.12.5.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $81 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$18 x$	+	$81$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$
							+	$81 x$	-	$729$

Этап 4.3.4.12.5.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$18 x$	+	$81$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$
							+	$81 x$	-	$729$
							+	$81 x$	-	$729$

Этап 4.3.4.12.5.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $81 x - 729$ .

				$x^{2}$	-	$18 x$	+	$81$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$
							+	$81 x$	-	$729$
							-	$81 x$	+	$729$

Этап 4.3.4.12.5.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$18 x$	+	$81$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$
							+	$81 x$	-	$729$
							-	$81 x$	+	$729$
										$0$

Этап 4.3.4.12.5.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 18 x + 81$

Этап 4.3.4.12.5.1.6

Запишем $x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$ в виде набора множителей.

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x - 9) (x^{2} - 18 x + 81)}{27}} + 9$

Этап 4.3.4.12.5.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.12.5.2.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x - 9) (x^{2} - 18 x + 9^{2})}{27}} + 9$

Этап 4.3.4.12.5.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

Этап 4.3.4.12.5.2.3

Перепишем многочлен.

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x - 9) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2})}{27}} + 9$

Этап 4.3.4.12.5.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 9$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x - 9) {(x - 9)}^{2}}{27}} + 9$

Этап 4.3.4.12.5.3

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.12.5.3.1

Возведем $x - 9$ в степень $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x - 9) {(x - 9)}^{2}}{27}} + 9$

Этап 4.3.4.12.5.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{{(x - 9)}^{1 + 2}}{27}} + 9$

Этап 4.3.4.12.5.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{{(x - 9)}^{3}}{27}} + 9$

Этап 4.3.4.13

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{\frac{{(x - 9)}^{3}}{3^{3}}} + 9$

Этап 4.3.4.14

Перепишем $\frac{{(x - 9)}^{3}}{3^{3}}$ в виде ${(\frac{x - 9}{3})}^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 \sqrt[3]{{(\frac{x - 9}{3})}^{3}} + 9$

Этап 4.3.4.15

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 (\frac{x - 9}{3}) + 9$

Этап 4.3.4.16

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.16.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = 3 (\frac{x - 9}{3}) + 9$

Этап 4.3.4.16.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = x - 9 + 9$

Этап 4.3.5

Объединим противоположные члены в $x - 9 + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Добавим $- 9$ и $9$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = x + 0$

Этап 4.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27$ — обратная к $f (x) = 3 \sqrt[3]{x} + 9$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{27} - x^{2} + 9 x - 27$