Алгебра Примеры

$\sqrt{x} + 1 = \sqrt{9 x - 2}$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x} = \sqrt{9 x - 2} - 1$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} = {(\sqrt{9 x - 2} - 1)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{9 x - 2} - 1)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{9 x - 2} - 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{9 x - 2} - 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(\sqrt{9 x - 2} - 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x = {(\sqrt{9 x - 2} - 1)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(\sqrt{9 x - 2} - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(\sqrt{9 x - 2} - 1)}^{2}$ в виде $(\sqrt{9 x - 2} - 1) (\sqrt{9 x - 2} - 1)$ .

$x = (\sqrt{9 x - 2} - 1) (\sqrt{9 x - 2} - 1)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(\sqrt{9 x - 2} - 1) (\sqrt{9 x - 2} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \sqrt{9 x - 2} (\sqrt{9 x - 2} - 1) - 1 (\sqrt{9 x - 2} - 1)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \sqrt{9 x - 2} \sqrt{9 x - 2} + \sqrt{9 x - 2} \cdot - 1 - 1 (\sqrt{9 x - 2} - 1)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \sqrt{9 x - 2} \sqrt{9 x - 2} + \sqrt{9 x - 2} \cdot - 1 - 1 \sqrt{9 x - 2} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $\sqrt{9 x - 2} \sqrt{9 x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{9 x - 2}$ в степень $1$ .

$x = {\sqrt{9 x - 2}}^{1} \sqrt{9 x - 2} + \sqrt{9 x - 2} \cdot - 1 - 1 \sqrt{9 x - 2} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{9 x - 2}$ в степень $1$ .

$x = {\sqrt{9 x - 2}}^{1} {\sqrt{9 x - 2}}^{1} + \sqrt{9 x - 2} \cdot - 1 - 1 \sqrt{9 x - 2} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = {\sqrt{9 x - 2}}^{1 + 1} + \sqrt{9 x - 2} \cdot - 1 - 1 \sqrt{9 x - 2} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x = {\sqrt{9 x - 2}}^{2} + \sqrt{9 x - 2} \cdot - 1 - 1 \sqrt{9 x - 2} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{9 x - 2}}^{2}$ в виде $9 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{9 x - 2}$ в виде ${(9 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {({(9 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{9 x - 2} \cdot - 1 - 1 \sqrt{9 x - 2} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = {(9 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{9 x - 2} \cdot - 1 - 1 \sqrt{9 x - 2} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = {(9 x - 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{9 x - 2} \cdot - 1 - 1 \sqrt{9 x - 2} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$x = {(9 x - 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{9 x - 2} \cdot - 1 - 1 \sqrt{9 x - 2} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$x = {(9 x - 2)}^{1} + \sqrt{9 x - 2} \cdot - 1 - 1 \sqrt{9 x - 2} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$x = 9 x - 2 + \sqrt{9 x - 2} \cdot - 1 - 1 \sqrt{9 x - 2} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $\sqrt{9 x - 2}$ .

$x = 9 x - 2 - 1 \cdot \sqrt{9 x - 2} - 1 \sqrt{9 x - 2} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 \sqrt{9 x - 2}$ в виде $- \sqrt{9 x - 2}$ .

$x = 9 x - 2 - \sqrt{9 x - 2} - 1 \sqrt{9 x - 2} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.5

Перепишем $- 1 \sqrt{9 x - 2}$ в виде $- \sqrt{9 x - 2}$ .

$x = 9 x - 2 - \sqrt{9 x - 2} - \sqrt{9 x - 2} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 9 x - 2 - \sqrt{9 x - 2} - \sqrt{9 x - 2} + 1$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$x = 9 x - 1 - \sqrt{9 x - 2} - \sqrt{9 x - 2}$

Этап 3.3.1.3.3

Вычтем $\sqrt{9 x - 2}$ из $- \sqrt{9 x - 2}$ .

$x = 9 x - 1 - 2 \sqrt{9 x - 2}$

Этап 4

Решим относительно $- 2 \sqrt{9 x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $9 x - 1 - 2 \sqrt{9 x - 2} = x$ .

$9 x - 1 - 2 \sqrt{9 x - 2} = x$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $- 2 \sqrt{9 x - 2}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $9 x$ из обеих частей уравнения.

$- 1 - 2 \sqrt{9 x - 2} = x - 9 x$

Этап 4.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \sqrt{9 x - 2} = x - 9 x + 1$

Этап 4.2.3

Вычтем $9 x$ из $x$ .

$- 2 \sqrt{9 x - 2} = - 8 x + 1$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 2 \sqrt{9 x - 2})}^{2} = {(- 8 x + 1)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{9 x - 2}$ в виде ${(9 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 {(9 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 8 x + 1)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(- 2 {(9 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $- 2 {(9 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2)}^{2} {({(9 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 8 x + 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$4 {({(9 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 8 x + 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(9 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(9 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 8 x + 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(9 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 8 x + 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(9 x - 2)}^{1} = {(- 8 x + 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$4 (9 x - 2) = {(- 8 x + 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (9 x) + 4 \cdot - 2 = {(- 8 x + 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.1

Умножим $9$ на $4$ .

$36 x + 4 \cdot - 2 = {(- 8 x + 1)}^{2}$

Этап 6.2.1.6.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$36 x - 8 = {(- 8 x + 1)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(- 8 x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(- 8 x + 1)}^{2}$ в виде $(- 8 x + 1) (- 8 x + 1)$ .

$36 x - 8 = (- 8 x + 1) (- 8 x + 1)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(- 8 x + 1) (- 8 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 8 = - 8 x (- 8 x + 1) + 1 (- 8 x + 1)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 8 = - 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 1 + 1 (- 8 x + 1)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 8 = - 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 1 + 1 (- 8 x) + 1 \cdot 1$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$36 x - 8 = - 8 \cdot - 8 x \cdot x - 8 x \cdot 1 + 1 (- 8 x) + 1 \cdot 1$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$36 x - 8 = - 8 \cdot - 8 (x \cdot x) - 8 x \cdot 1 + 1 (- 8 x) + 1 \cdot 1$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$36 x - 8 = - 8 \cdot - 8 x^{2} - 8 x \cdot 1 + 1 (- 8 x) + 1 \cdot 1$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$36 x - 8 = 64 x^{2} - 8 x \cdot 1 + 1 (- 8 x) + 1 \cdot 1$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $- 8$ на $1$ .

$36 x - 8 = 64 x^{2} - 8 x + 1 (- 8 x) + 1 \cdot 1$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $- 8 x$ на $1$ .

$36 x - 8 = 64 x^{2} - 8 x - 8 x + 1 \cdot 1$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$36 x - 8 = 64 x^{2} - 8 x - 8 x + 1$

Этап 6.3.1.3.2

Вычтем $8 x$ из $- 8 x$ .

$36 x - 8 = 64 x^{2} - 16 x + 1$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$64 x^{2} - 16 x + 1 = 36 x - 8$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $36 x$ из обеих частей уравнения.

$64 x^{2} - 16 x + 1 - 36 x = - 8$

Этап 7.2.2

Вычтем $36 x$ из $- 16 x$ .

$64 x^{2} - 52 x + 1 = - 8$

Этап 7.3

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$64 x^{2} - 52 x + 1 + 8 = 0$

Этап 7.4

Добавим $1$ и $8$ .

$64 x^{2} - 52 x + 9 = 0$

Этап 7.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 64 \cdot 9 = 576$ , а сумма — $b = - 52$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Вынесем множитель $- 52$ из $- 52 x$ .

$64 x^{2} - 52 x + 9 = 0$

Этап 7.5.1.2

Запишем $- 52$ как $- 16$ плюс $- 36$

$64 x^{2} + (- 16 - 36) x + 9 = 0$

Этап 7.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$64 x^{2} - 16 x - 36 x + 9 = 0$

Этап 7.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(64 x^{2} - 16 x) - 36 x + 9 = 0$

Этап 7.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$16 x (4 x - 1) - 9 (4 x - 1) = 0$

Этап 7.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (16 x - 9) = 0$

Этап 7.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$16 x - 9 = 0$

Этап 7.7

Приравняем $4 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Приравняем $4 x - 1$ к $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Этап 7.7.2

Решим $4 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 1$

Этап 7.7.2.2

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 7.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 7.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Этап 7.8

Приравняем $16 x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Приравняем $16 x - 9$ к $0$ .

$16 x - 9 = 0$

Этап 7.8.2

Решим $16 x - 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.2.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$16 x = 9$

Этап 7.8.2.2

Разделим каждый член $16 x = 9$ на $16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.2.2.1

Разделим каждый член $16 x = 9$ на $16$ .

$\frac{16 x}{16} = \frac{9}{16}$

Этап 7.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 x}{16} = \frac{9}{16}$

Этап 7.8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{9}{16}$

Этап 7.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x - 1) (16 x - 9) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{4}, \frac{9}{16}$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{x} + 1 = \sqrt{9 x - 2}$ истинным.

$x = \frac{9}{16}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{9}{16}$

Десятичная форма:

$x = 0.5625$