Алгебра Примеры

$\frac{a^{2} - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^{2} + 5 a} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{a^{2} - 5^{2}}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^{2} + 5 a} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a$ и $b = 5$ .

$\frac{(a + 5) (a - 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^{2} + 5 a} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $a$ из $a^{2} + 5 a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{2}$ .

$\frac{(a + 5) (a - 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a \cdot a + 5 a} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $a$ из $5 a$ .

$\frac{(a + 5) (a - 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a \cdot a + a \cdot 5} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $a$ из $a \cdot a + a \cdot 5$ .

$\frac{(a + 5) (a - 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a (a + 5)} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $a + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $a + 5$ из $a (a + 5)$ .

$\frac{(a + 5) (a - 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{(a + 5) a} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(a + 5) (a - 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{(a + 5) a} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{a - 5}{a + 3} \cdot \frac{1}{a} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Этап 1.4

Умножим $\frac{a - 5}{a + 3}$ на $\frac{1}{a}$ .

$\frac{a - 5}{(a + 3) a} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Этап 1.5

Вынесем множитель $a$ из $a^{2} - 3 a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{2}$ .

$\frac{a - 5}{(a + 3) a} - \frac{a + 5}{a \cdot a - 3 a}$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $a$ из $- 3 a$ .

$\frac{a - 5}{(a + 3) a} - \frac{a + 5}{a \cdot a + a \cdot - 3}$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $a$ из $a \cdot a + a \cdot - 3$ .

$\frac{a - 5}{(a + 3) a} - \frac{a + 5}{a (a - 3)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{a - 5}{(a + 3) a}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{a - 5}{(a + 3) a} \cdot \frac{a - 3}{a - 3} - \frac{a + 5}{a (a - 3)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{a + 5}{a (a - 3)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{a - 5}{(a + 3) a} \cdot \frac{a - 3}{a - 3} - \frac{a + 5}{a (a - 3)} \cdot \frac{a + 3}{a + 3}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(a + 3) a (a - 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{a - 5}{(a + 3) a}$ на $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{(a - 5) (a - 3)}{(a + 3) a (a - 3)} - \frac{a + 5}{a (a - 3)} \cdot \frac{a + 3}{a + 3}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{a + 5}{a (a - 3)}$ на $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{(a - 5) (a - 3)}{(a + 3) a (a - 3)} - \frac{(a + 5) (a + 3)}{a (a - 3) (a + 3)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(a + 3) a (a - 3)$ .

$\frac{(a - 5) (a - 3)}{a (a + 3) (a - 3)} - \frac{(a + 5) (a + 3)}{a (a - 3) (a + 3)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $a (a - 3) (a + 3)$ .

$\frac{(a - 5) (a - 3)}{a (a + 3) (a - 3)} - \frac{(a + 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(a - 5) (a - 3) - (a + 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(a - 5) (a - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a (a - 3) - 5 (a - 3) - (a + 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a \cdot a + a \cdot - 3 - 5 (a - 3) - (a + 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a \cdot a + a \cdot - 3 - 5 a - 5 \cdot - 3 - (a + 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot - 3 - 5 a - 5 \cdot - 3 - (a + 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.2.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $a$ .

$\frac{a^{2} - 3 \cdot a - 5 a - 5 \cdot - 3 - (a + 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 5$ на $- 3$ .

$\frac{a^{2} - 3 a - 5 a + 15 - (a + 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.2.2

Вычтем $5 a$ из $- 3 a$ .

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 - (a + 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 + (- a - 1 \cdot 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 + (- a - 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.5

Развернем $(- a - 5) (a + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 - a (a + 3) - 5 (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 - a \cdot a - a \cdot 3 - 5 (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 - a \cdot a - a \cdot 3 - 5 a - 5 \cdot 3}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1.1

Перенесем $a$ .

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 - (a \cdot a) - a \cdot 3 - 5 a - 5 \cdot 3}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.6.1.1.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 - a^{2} - a \cdot 3 - 5 a - 5 \cdot 3}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.6.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 - a^{2} - 3 a - 5 a - 5 \cdot 3}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.6.1.3

Умножим $- 5$ на $3$ .

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 - a^{2} - 3 a - 5 a - 15}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.6.2

Вычтем $5 a$ из $- 3 a$ .

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 - a^{2} - 8 a - 15}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.7

Вычтем $a^{2}$ из $a^{2}$ .

$\frac{- 8 a + 15 + 0 - 8 a - 15}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.8

Добавим $- 8 a$ и $0$ .

$\frac{- 8 a + 15 - 8 a - 15}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.9

Вычтем $8 a$ из $- 8 a$ .

$\frac{- 16 a + 15 - 15}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.10

Вычтем $15$ из $15$ .

$\frac{- 16 a + 0}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 6.11

Добавим $- 16 a$ и $0$ .

$\frac{- 16 a}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 16 a}{a (a + 3) (a - 3)}$

Этап 7.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 16}{(a + 3) (a - 3)}$

Этап 7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16}{(a + 3) (a - 3)}$