Алгебра Примеры

$\frac{2 x}{x - 2} < 5$

Этап 1

Вычтем $5$ из обеих частей неравенства.

$\frac{2 x}{x - 2} - 5 < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{2 x}{x - 2} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 x}{x - 2} - 5 \cdot \frac{x - 2}{x - 2} < 0$

Этап 2.2

Объединим $- 5$ и $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{- 5 (x - 2)}{x - 2} < 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x - 5 (x - 2)}{x - 2} < 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x - 5 x - 5 \cdot - 2}{x - 2} < 0$

Этап 2.4.2

Умножим $- 5$ на $- 2$ .

$\frac{2 x - 5 x + 10}{x - 2} < 0$

Этап 2.4.3

Вычтем $5 x$ из $2 x$ .

$\frac{- 3 x + 10}{x - 2} < 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 10}{x - 2} < 0$

Этап 2.6

Перепишем $10$ в виде $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 10)}{x - 2} < 0$

Этап 2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 x - 10)}{x - 2} < 0$

Этап 2.8

Перепишем $- (3 x - 10)$ в виде $- 1 (3 x - 10)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 10)}{x - 2} < 0$

Этап 2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 x - 10}{x - 2} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$3 x - 10 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 10$

Этап 5

Разделим каждый член $3 x = 10$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $3 x = 10$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{10}{3}$

Этап 6

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \frac{10}{3}$

$x = 2$

Этап 8

Объединим решения.

$x = \frac{10}{3}, 2$

Этап 9

Найдем область определения $- \frac{3 x - 10}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x - 10}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 9.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 2$

$2 < x < \frac{10}{3}$

$x > \frac{10}{3}$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (0)}{(0) - 2} < 5$

Этап 11.1.3

Левая часть $0$ меньше правой части $5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $2 < x < \frac{10}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $2 < x < \frac{10}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (3)}{(3) - 2} < 5$

Этап 11.2.3

Левая часть $6$ не меньше правой части $5$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{10}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{10}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (6)}{(6) - 2} < 5$

Этап 11.3.3

Левая часть $3$ меньше правой части $5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 2$ Истина

$2 < x < \frac{10}{3}$ Ложь

$x > \frac{10}{3}$ Истина

$x < 2$ Истина

$2 < x < \frac{10}{3}$ Ложь

$x > \frac{10}{3}$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 2$ или $x > \frac{10}{3}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < 2 or x > \frac{10}{3}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 2) \cup (\frac{10}{3}, \infty)$

Этап 14