Алгебра Примеры

$\frac{4 + \sqrt{27}}{2 - 3 \sqrt{27}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$\frac{4 + \sqrt{9 (3)}}{2 - 3 \sqrt{27}}$

Этап 1.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{4 + \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 - 3 \sqrt{27}}$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 3 \sqrt{27}}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 3 \sqrt{9 (3)}}$

Этап 2.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 3 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}$

Этап 2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 3 (3 \sqrt{3})}$

Этап 2.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 9 \sqrt{3}}$

Этап 3

Умножим $\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 9 \sqrt{3}}$ на $\frac{2 + 9 \sqrt{3}}{2 + 9 \sqrt{3}}$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 9 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + 9 \sqrt{3}}{2 + 9 \sqrt{3}}$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 9 \sqrt{3}}$ на $\frac{2 + 9 \sqrt{3}}{2 + 9 \sqrt{3}}$ .

$\frac{(4 + 3 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})}{(2 - 9 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})}$

Этап 4.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(4 + 3 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})}{4 + 18 \sqrt{3} - 18 \sqrt{3} - 81 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

$\frac{(4 + 3 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})}{- 239}$

Этап 5

Развернем $(4 + 3 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (2 + 9 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} (2 + 9 \sqrt{3})}{- 239}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (9 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} (2 + 9 \sqrt{3})}{- 239}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (9 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} \cdot 2 + 3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})}{- 239}$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 + 4 (9 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} \cdot 2 + 3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})}{- 239}$

Этап 6.1.2

Умножим $9$ на $4$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} \cdot 2 + 3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})}{- 239}$

Этап 6.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})}{- 239}$

Этап 6.1.4

Умножим $3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 239}$

Этап 6.1.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 239}$

Этап 6.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 239}$

Этап 6.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 239}$

Этап 6.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 {\sqrt{3}}^{2}}{- 239}$

Этап 6.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 239}$

Этап 6.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 239}$

Этап 6.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{- 239}$

Этап 6.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{- 239}$

Этап 6.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3^{1}}{- 239}$

Этап 6.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3}{- 239}$

Этап 6.1.6

Умножим $27$ на $3$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 81}{- 239}$

Этап 6.2

Добавим $8$ и $81$ .

$\frac{89 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{- 239}$

Этап 6.3

Добавим $36 \sqrt{3}$ и $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{89 + 42 \sqrt{3}}{- 239}$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{89 + 42 \sqrt{3}}{239}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{89 + 42 \sqrt{3}}{239}$

Десятичная форма:

$- 0.67676206 \dots$