Алгебра Примеры

$1 < | x + 2 | < 3$

Этап 1

Найдем значения $x$ , при которых выполняется неравенство $1 < | x + 2 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем таким образом, чтобы $x$ оказалось в левой части неравенства.

$| x + 2 | > 1$

Этап 1.2

Запишем $| x + 2 | > 1$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x + 2 \geq 0$

Этап 1.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 2$

Этап 1.2.3

В части, где $x + 2$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x + 2 > 1$

Этап 1.2.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x + 2 < 0$

Этап 1.2.5

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$x < - 2$

Этап 1.2.6

В части, где $x + 2$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (x + 2) > 1$

Этап 1.2.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x + 2 > 1 & x \geq - 2 \\ - (x + 2) > 1 & x < - 2 \end{cases}$

Этап 1.2.8

Упростим $- (x + 2) > 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} x + 2 > 1 & x \geq - 2 \\ - x - 1 \cdot 2 > 1 & x < - 2 \end{cases}$

Этап 1.2.8.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

${\begin{cases} x + 2 > 1 & x \geq - 2 \\ - x - 2 > 1 & x < - 2 \end{cases}$

Этап 1.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$x > 1 - 2$

Этап 1.3.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x > - 1$

Этап 1.4

Решим $- x - 2 > 1$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Добавим $2$ к обеим частям неравенства.

$- x > 1 + 2$

Этап 1.4.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$- x > 3$

Этап 1.4.2

Разделим каждый член $- x > 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Разделим каждый член $- x > 3$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{3}{- 1}$

Этап 1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} < \frac{3}{- 1}$

Этап 1.4.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{3}{- 1}$

Этап 1.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Разделим $3$ на $- 1$ .

$x < - 3$

Этап 1.5

Найдем объединение решений.

$x < - 3$ или $x > - 1$

Этап 2

Найдем значения $x$ , при которых выполняется неравенство $| x + 2 | < 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $| x + 2 | < 3$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x + 2 \geq 0$

Этап 2.1.2

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 2$

Этап 2.1.3

В части, где $x + 2$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x + 2 < 3$

Этап 2.1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x + 2 < 0$

Этап 2.1.5

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$x < - 2$

Этап 2.1.6

В части, где $x + 2$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (x + 2) < 3$

Этап 2.1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x + 2 < 3 & x \geq - 2 \\ - (x + 2) < 3 & x < - 2 \end{cases}$

Этап 2.1.8

Упростим $- (x + 2) < 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} x + 2 < 3 & x \geq - 2 \\ - x - 1 \cdot 2 < 3 & x < - 2 \end{cases}$

Этап 2.1.8.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

${\begin{cases} x + 2 < 3 & x \geq - 2 \\ - x - 2 < 3 & x < - 2 \end{cases}$

Этап 2.2

Решим $x + 2 < 3$ , когда $x \geq - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$x < 3 - 2$

Этап 2.2.1.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$x < 1$

Этап 2.2.2

Найдем пересечение $x < 1$ и $x \geq - 2$ .

$- 2 \leq x < 1$

Этап 2.3

Решим $- x - 2 < 3$ , когда $x < - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Решим $- x - 2 < 3$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Добавим $2$ к обеим частям неравенства.

$- x < 3 + 2$

Этап 2.3.1.1.2

Добавим $3$ и $2$ .

$- x < 5$

Этап 2.3.1.2

Разделим каждый член $- x < 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Разделим каждый член $- x < 5$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{5}{- 1}$

Этап 2.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} > \frac{5}{- 1}$

Этап 2.3.1.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{5}{- 1}$

Этап 2.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.3.1

Разделим $5$ на $- 1$ .

$x > - 5$

Этап 2.3.2

Найдем пересечение $x > - 5$ и $x < - 2$ .

$- 5 < x < - 2$

Этап 2.4

Найдем объединение решений.

$- 5 < x < 1$

Этап 3

Решение ― это пересечение интервалов.

$x < - 3$ или $x > - 1$

$- 5 < x < 1$

Этап 4

Найдем пересечение.

$- 5 < x < - 3$ или $- 1 < x < 1$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 5 < x < - 3 or - 1 < x < 1$

Интервальное представление:

$(- 5, - 3) \cup (- 1, 1)$

Этап 6