Алгебра Примеры

$\frac{r}{r^{2} - 4} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{r}{r^{2} - 2^{2}} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = r$ и $b = 2$ .

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

Этап 1.2

Разложим $r^{2} - 6 r + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $- 6$ .

$- 4, - 2$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{r}{(r + 2) (r - 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{r - 4}{r - 4}$ .

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} \cdot \frac{r - 4}{r - 4} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{r + 2}{r + 2}$ .

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} \cdot \frac{r - 4}{r - 4} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)} \cdot \frac{r + 2}{r + 2}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(r + 2) (r - 2) (r - 4)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{r}{(r + 2) (r - 2)}$ на $\frac{r - 4}{r - 4}$ .

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)} \cdot \frac{r + 2}{r + 2}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$ на $\frac{r + 2}{r + 2}$ .

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{r + 2}{(r - 4) (r - 2) (r + 2)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(r - 4) (r - 2) (r + 2)$ .

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{r (r - 4) + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{r \cdot r + r \cdot - 4 + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Этап 6.2

Умножим $r$ на $r$ .

$\frac{r^{2} + r \cdot - 4 + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Этап 6.3

Перенесем $- 4$ влево от $r$ .

$\frac{r^{2} - 4 \cdot r + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Этап 6.4

Добавим $- 4 r$ и $r$ .

$\frac{r^{2} - 3 r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Этап 6.5

Разложим $r^{2} - 3 r + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 6.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(r - 2) (r - 1)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $r - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(r - 2) (r - 1)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{r - 1}{(r + 2) (r - 4)}$