Алгебра Примеры

$x = 2 + \sqrt{x^{2} - 1}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$2 + \sqrt{x^{2} - 1} = x$

Этап 2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x^{2} - 1} = x - 2$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 1}$ в виде ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} - 1)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Упростим.

$x^{2} - 1 = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$x^{2} - 1 = (x - 2) (x - 2)$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 1 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 1 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 1 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 1 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 4.3.1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$x^{2} - 1 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 4.3.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$x^{2} - 1 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Этап 4.3.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$x^{2} - 1 = x^{2} - 4 x + 4$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 4 x + 4 = x^{2} - 1$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x + 4 - x^{2} = - 1$

Этап 5.2.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 4 x + 4 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- 4 x + 4 + 0 = - 1$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 4 x + 4$ и $0$ .

$- 4 x + 4 = - 1$

Этап 5.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x = - 1 - 4$

Этап 5.3.2

Вычтем $4$ из $- 1$ .

$- 4 x = - 5$

Этап 5.4

Разделим каждый член $- 4 x = - 5$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $- 4 x = - 5$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 4}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{5}{4}$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $x = 2 + \sqrt{x^{2} - 1}$ истинным.

$Нет решения$