Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ в виде уравнения.

$y = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} = x$ .

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части на $1 + e^{- y}$ .

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} (1 + e^{- y}) = x (1 + e^{- y})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $1 + e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} (1 + e^{- y}) = x (1 + e^{- y})$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 - e^{- y} = x (1 + e^{- y})$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим $x (1 + e^{- y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - e^{- y} = x \cdot 1 + x e^{- y}$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$1 - e^{- y} = x + x e^{- y}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $x e^{- y}$ из обеих частей уравнения.

$1 - e^{- y} - x e^{- y} = x$

Этап 3.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- e^{- y} - x e^{- y} = x - 1$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $e^{- y}$ из $- e^{- y} - x e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $e^{- y}$ из $- e^{- y}$ .

$e^{- y} \cdot - 1 - x e^{- y} = x - 1$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $e^{- y}$ из $- x e^{- y}$ .

$e^{- y} \cdot - 1 + e^{- y} (- x) = x - 1$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $e^{- y}$ из $e^{- y} \cdot - 1 + e^{- y} (- x)$ .

$e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$ на $- 1 - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$ на $- 1 - x$ .

$\frac{e^{- y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- 1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $e^{- y}$ на $1$ .

$e^{- y} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 - x}$

Этап 3.4.4.3.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - x}$

Этап 3.4.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - (x)}$

Этап 3.4.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (x)$ .

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1 + x)}$

Этап 3.4.4.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- y} = - \frac{x - 1}{1 + x}$

Этап 3.4.5

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Этап 3.4.6

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Развернем $\ln (e^{- y})$ , вынося $- y$ из логарифма.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Этап 3.4.6.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Этап 3.4.6.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Этап 3.4.7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Упростим $\ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1.1

Разобьем дробь $\frac{x - 1}{1 + x}$ на две дроби.

$- y = \ln (- (\frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}))$

Этап 3.4.7.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- y = \ln (- (\frac{x}{1 + x} - \frac{1}{1 + x}))$

Этап 3.4.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} - - \frac{1}{1 + x})$

Этап 3.4.7.1.4

Умножим $- - \frac{1}{1 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + 1 \frac{1}{1 + x})$

Этап 3.4.7.1.4.2

Умножим $\frac{1}{1 + x}$ на $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Этап 3.4.8

Разделим каждый член $- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Разделим каждый член $- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Этап 3.4.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Этап 3.4.8.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Этап 3.4.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Этап 3.4.8.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ в виде $- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ .

$y = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ обратной к $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (- \frac{\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}} + \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Этап 5.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (- \frac{\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}} + \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Этап 5.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{- \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}} + 1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Этап 5.2.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{- \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}} + \frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Этап 5.2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- (1 - e^{- x}) + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Этап 5.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 \cdot 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Этап 5.2.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Этап 5.2.4.3

Умножим $- - e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + 1 e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Этап 5.2.4.3.2

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Этап 5.2.4.4

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{0 + e^{- x} + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Этап 5.2.4.5

Добавим $0$ и $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{e^{- x} + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Этап 5.2.4.6

Добавим $e^{- x}$ и $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Этап 5.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Этап 5.2.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}} + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Этап 5.2.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + e^{- x} + 1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Этап 5.2.6.3

Перепишем $\frac{1 + e^{- x} + 1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 + e^{- x} - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Этап 5.2.6.3.2

Вычтем $e^{- x}$ из $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 0}{1 + e^{- x}}})$

Этап 5.2.6.3.3

Добавим $2$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2}{1 + e^{- x}}})$

Этап 5.2.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 (\frac{1 + e^{- x}}{2})))$

Этап 5.2.8

Умножим $\frac{1 + e^{- x}}{2}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Этап 5.2.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 (e^{- x})}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Этап 5.2.9.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Этап 5.2.9.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 + e^{- x}))$

Этап 5.2.10

Сократим общий множитель $1 + e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 + e^{- x}))$

Этап 5.2.10.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (e^{- x})$

Этап 5.2.11

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- x$ из степени.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - (- x \ln (e))$

Этап 5.2.12

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - (- x \cdot 1)$

Этап 5.2.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{- (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))}}{1 + e^{- (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))}}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3.2

Умножим $- - \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{1 \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3.2.2

Умножим $\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ на $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - \frac{- x + 1}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{- x + 1}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x - (- x + 1)}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3.6

Изменим порядок членов.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 - (- x + 1)}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3.7

Перепишем $\frac{x + 1 - (- x + 1)}{x + 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3.7.2

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.7.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + 1 x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3.7.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3.7.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3.7.4

Добавим $x$ и $x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3.7.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3.7.6

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.4.2

Умножим $- - \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{1 \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.4.2.2

Умножим $\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ на $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.4.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + \frac{- x + 1}{1 + x}}$

Этап 5.3.4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{- x + 1}{1 + x}}$

Этап 5.3.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - x + 1}{1 + x}}$

Этап 5.3.4.6

Изменим порядок членов.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x - x + 1 + 1}{x + 1}}$

Этап 5.3.4.7

Перепишем $\frac{x - x + 1 + 1}{x + 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.7.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

Этап 5.3.4.7.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

Этап 5.3.4.7.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Этап 5.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Этап 5.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Этап 5.3.7.2

Перепишем это выражение.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ — обратная к $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

$f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$