Алгебра Примеры

$y = - \frac{1}{2} x^{3} + 6$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = - \frac{1}{2} y^{3} + 6$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{2} y^{3} + 6 = x$ .

$- \frac{1}{2} y^{3} + 6 = x$

Этап 2.2

Объединим $y^{3}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y^{3}}{2} + 6 = x$

Этап 2.3

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{y^{3}}{2} = x - 6$

Этап 2.4

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y^{3}}{2}) = - 2 (x - 6)$

Этап 2.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{y^{3}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y^{3}}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- y^{3}}{2} = - 2 (x - 6)$

Этап 2.5.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y^{3}}{2} = - 2 (x - 6)$

Этап 2.5.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- y^{3}}{2} = - 2 (x - 6)$

Этап 2.5.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - y^{3} = - 2 (x - 6)$

Этап 2.5.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y^{3} = - 2 (x - 6)$

Этап 2.5.1.1.2.2

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = - 2 (x - 6)$

Этап 2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим $- 2 (x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = - 2 x - 2 \cdot - 6$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $- 2$ на $- 6$ .

$y^{3} = - 2 x + 12$

Этап 2.6

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- 2 x + 12}$

Этап 2.7

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$y = \sqrt[3]{2 (- x) + 12}$

Этап 2.7.2

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$y = \sqrt[3]{2 (- x) + 2 (6)}$

Этап 2.7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (6)$ .

$y = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$ обратной к $f (x) = - \frac{1}{2} x^{3} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (- (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) + 6)}$

Этап 4.2.3

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (- (- \frac{x^{3}}{2} + 6) + 6)}$

Этап 4.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2} - 1 \cdot 6 + 6)}$

Этап 4.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2} - 6 + 6)}$

Этап 4.2.5.2

Добавим $- 6$ и $6$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2} + 0)}$

Этап 4.2.5.3

Добавим $\frac{x^{3}}{2}$ и $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2})}$

Этап 4.2.6

Объединим $2$ и $\frac{x^{3}}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{\frac{2 x^{3}}{2}}$

Этап 4.2.7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Сократим выражение $\frac{2 x^{3}}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{\frac{2 x^{3}}{2}}$

Этап 4.2.7.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Этап 4.2.7.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Этап 4.2.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt[3]{2 (- x + 6)})}^{3} + 6$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем ${\sqrt[3]{2 (- x + 6)}}^{3}$ в виде $2 (- x + 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2 (- x + 6)}$ в виде ${(2 (- x + 6))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {({(2 (- x + 6))}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 6$

Этап 4.3.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {(2 (- x + 6))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 6$

Этап 4.3.3.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {(2 (- x + 6))}^{\frac{3}{3}} + 6$

Этап 4.3.3.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {(2 (- x + 6))}^{\frac{3}{3}} + 6$

Этап 4.3.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot (2 (- x + 6)) + 6$

Этап 4.3.3.1.5

Упростим.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot (2 (- x + 6)) + 6$

Этап 4.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x + 6)) + 6$

Этап 4.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x + 6)) + 6$

Этап 4.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - 1 \cdot (- x + 6) + 6$

Этап 4.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - 1 (- x) - 1 \cdot 6 + 6$

Этап 4.3.3.4

Умножим $- 1 (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = 1 x - 1 \cdot 6 + 6$

Этап 4.3.3.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = x - 1 \cdot 6 + 6$

Этап 4.3.3.5

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = x - 6 + 6$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 6 + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Добавим $- 6$ и $6$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$ — обратная к $f (x) = - \frac{1}{2} x^{3} + 6$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$