Алгебра Примеры

$\log_{4} (x^{2} - x) = 1 + \log_{4} (5)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{4} (x^{2} - x) - \log_{4} (5) = 1$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} - x}{5}) = 1$

Этап 3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{x \cdot x - x}{5}) = 1$

Этап 3.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{5}) = 1$

Этап 3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\log_{4} (\frac{x (x - 1)}{5}) = 1$

Этап 4

Перепишем $\log_{4} (\frac{x (x - 1)}{5}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{x (x - 1)}{5}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x (x - 1)}{5} = 4^{1}$ .

$\frac{x (x - 1)}{5} = 4$

Этап 5.2

Умножим обе части уравнения на $5$ .

$5 \frac{x (x - 1)}{5} = 5 \cdot 4^{1}$

Этап 5.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Упростим $5 \frac{x (x - 1)}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{x (x - 1)}{5} = 5 \cdot 4^{1}$

Этап 5.3.1.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x (x - 1) = 5 \cdot 4^{1}$

Этап 5.3.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 5 \cdot 4^{1}$

Этап 5.3.1.1.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 = 5 \cdot 4^{1}$

Этап 5.3.1.1.1.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x = 5 \cdot 4^{1}$

Этап 5.3.1.1.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x = 5 \cdot 4^{1}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим $5 \cdot 4^{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Найдем экспоненту.

$x^{2} - x = 5 \cdot 4$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $5$ на $4$ .

$x^{2} - x = 20$

Этап 5.4

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x - 20 = 0$

Этап 5.5

Разложим $x^{2} - x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $- 1$ .

$- 5, 4$

Этап 5.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Этап 5.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 5.7

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 5.7.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 5.8

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 5.8.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 5.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 5, - 4$