Алгебра Примеры

$\sqrt{y^{4} + 2 y^{2} + 1} = y^{2} + 1$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y^{4} + 2 y^{2} + 1}}^{2} = {(y^{2} + 1)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y^{4} + 2 y^{2} + 1}$ в виде ${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y^{2} + 1)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y^{2} + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y^{2} + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{1} = {(y^{2} + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = {(y^{2} + 1)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(y^{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(y^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(y^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = (y^{2} + 1) (y^{2} + 1)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(y^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{2} (y^{2} + 1) + 1 (y^{2} + 1)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{2} + 1)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{2 + 2} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{4} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{4} + y^{2} + 1 y^{2} + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{4} + y^{2} + y^{2} + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{4} + y^{2} + y^{2} + 1$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $y^{2}$ и $y^{2}$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{4} + 2 y^{2} + 1$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $y^{4}$ из обеих частей уравнения.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 - y^{4} = 2 y^{2} + 1$

Этап 3.1.2

Вычтем $2 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 - y^{4} - 2 y^{2} = 1$

Этап 3.1.3

Объединим противоположные члены в $y^{4} + 2 y^{2} + 1 - y^{4} - 2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычтем $y^{4}$ из $y^{4}$ .

$2 y^{2} + 1 + 0 - 2 y^{2} = 1$

Этап 3.1.3.2

Добавим $2 y^{2} + 1$ и $0$ .

$2 y^{2} + 1 - 2 y^{2} = 1$

Этап 3.1.3.3

Вычтем $2 y^{2}$ из $2 y^{2}$ .

$0 + 1 = 1$

Этап 3.1.3.4

Добавим $0$ и $1$ .

$1 = 1$

Этап 3.2

Поскольку $1 = 1$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $y$ .

Все вещественные числа

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$