Алгебра Примеры

$f (x) = 64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ ?

Этап 1

Разложим $64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.015625, \pm 0.5, \pm 0.03125, \pm 0.25, \pm 0.0625, \pm 0.125, \pm 125, \pm 1.953125, \pm 62.5, \pm 3.90625, \pm 31.25, \pm 7.8125, \pm 15.625, \pm 5, \pm 0.078125, \pm 2.5, \pm 0.15625, \pm 1.25, \pm 0.3125, \pm 0.625, \pm 25, \pm 0.390625, \pm 12.5, \pm 0.78125, \pm 6.25, \pm 1.5625, \pm 3.125$

Этап 1.3

Подставим $1.25$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1.25$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1.25$ в многочлен.

$64 \cdot {1.25}^{3} - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

Этап 1.3.2

Возведем $1.25$ в степень $3$ .

$64 \cdot 1.953125 - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

Этап 1.3.3

Умножим $64$ на $1.953125$ .

$125 - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

Этап 1.3.4

Возведем $1.25$ в степень $2$ .

$125 - 240 \cdot 1.5625 + 300 \cdot 1.25 - 125$

Этап 1.3.5

Умножим $- 240$ на $1.5625$ .

$125 - 375 + 300 \cdot 1.25 - 125$

Этап 1.3.6

Вычтем $375$ из $125$ .

$- 250 + 300 \cdot 1.25 - 125$

Этап 1.3.7

Умножим $300$ на $1.25$ .

$- 250 + 375 - 125$

Этап 1.3.8

Добавим $- 250$ и $375$ .

$125 - 125$

Этап 1.3.9

Вычтем $125$ из $125$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $1.25$ — известный корень, разделим многочлен на $4 x - 5$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125}{4 x - 5}$

Этап 1.5

Разделим $64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ на $4 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$4 x$

$5$

$64 x^{3}$

$240 x^{2}$

$300 x$

$125$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $64 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $4 x$ .

					$16 x^{2}$
	$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			+	$64 x^{3}$	-	$80 x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $64 x^{3} - 80 x^{2}$ .

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 160 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $4 x$ .

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					-	$160 x^{2}$	+	$200 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 160 x^{2} + 200 x$ .

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $100 x$ на член с максимальной степенью в делителе $4 x$ .

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							+	$100 x$	-	$125$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $100 x - 125$ .

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							-	$100 x$	+	$125$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							-	$100 x$	+	$125$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$16 x^{2} - 40 x + 25$

Этап 1.6

Запишем $64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ в виде набора множителей.

$f (x) = (4 x - 5) (16 x^{2} - 40 x + 25)$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $16 x^{2}$ в виде ${(4 x)}^{2}$ .

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 40 x + 25)$

Этап 2.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 40 x + 5^{2})$

Этап 2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$40 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 5$

Этап 2.4

Перепишем многочлен.

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 2 \cdot (4 x) \cdot 5 + 5^{2})$

Этап 2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 4 x$ и $b = 5$ .

$f (x) = (4 x - 5) {(4 x - 5)}^{2}$

Этап 3

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = {(4 x - 5)}^{1 + 2}$

Этап 3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (x) = {(4 x - 5)}^{3}$