Алгебра Примеры

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 (x - 3)} + 1$

Этап 1

Простейшая форма функция является самой простой формой функции данного типа.

$g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$

Этап 2

Преобразование из первого уравнения во второе можно осуществить, найдя $a$ , $h$ и $k$ для каждого уравнения.

$y = a b^{x - h} + k$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 x + 2 \cdot - 3} + 1$

Этап 3.1.1.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 x - 6} + 1$

Этап 3.1.1.3

Применим правило умножения к $\frac{4}{3}$ .

$f (x) = - \frac{4^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}} + 1$

Этап 3.1.2

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (x) = - \frac{4^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}} + \frac{3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}$

Этап 3.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + 3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $3^{2 x - 6}$ в виде ${(3^{x - 3})}^{2}$ .

$f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + {(3^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Этап 3.2.2

Перепишем $4^{2 x - 6}$ в виде ${(4^{x - 3})}^{2}$ .

$f (x) = \frac{- {(4^{x - 3})}^{2} + {(3^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Этап 3.2.3

Изменим порядок $- {(4^{x - 3})}^{2}$ и ${(3^{x - 3})}^{2}$ .

$f (x) = \frac{{(3^{x - 3})}^{2} - {(4^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Этап 3.2.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3^{x - 3}$ и $b = 4^{x - 3}$ .

$f (x) = \frac{(3^{x - 3} + 4^{x - 3}) (3^{x - 3} - 4^{x - 3})}{3^{2 x - 6}}$

Этап 4

Найдем $a$ , $h$ и $k$ для $g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = 0$

Этап 5

Найдем $a$ , $h$ и $k$ для $f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 (x - 3)} + 1$ .

$a = - 1$

$h = 3$

$k = 1$

Этап 6

Горизонтальный сдвиг зависит от значения $h$ . Горизонтальный сдвиг описывается следующим образом:

$f (x) = f (x + h)$ — график сдвинут влево на $h$ ед.

$f (x) = f (x - h)$ — график сдвинут вправо на $h$ ед.

Сдвиг по горизонтали: на $3$ ед. вправо

Этап 7

Смещение по вертикали зависит от значения $k$ . Вертикальный сдвиг описывается следующим образом:

$f (x) = f (x) + k$ — график сдвинут вверх на $k$ ед.

$f (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Смещение по вертикали: сдвинут вверх на $1$ ед.

Этап 8

Знак $a$ описывает отражение относительно оси x. $- a$ означает, что график отражается относительно оси x.

Отражение относительно оси X: отражено

Этап 9

Значение $a$ описывает растяжение или сжатие графика по вертикали.

$a > 1$ — растяжение по вертикали (делает более узким)

$0 < a < 1$ — вертикальное сжатие (делает более широким)

Сжатие или растяжение по вертикали: нет

Этап 10

Чтобы найти преобразование, сравним две функции и проверим наличие смещения по вертикали или горизонтали, отражения относительно оси x и растяжения по вертикали.

Порождающая функция: $g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$

Сдвиг по горизонтали: на $3$ ед. вправо

Смещение по вертикали: сдвинут вверх на $1$ ед.

Отражение относительно оси X: отражено

Сжатие или растяжение по вертикали: нет

Этап 11