Алгебра Примеры

$\frac{4}{x + 3} - \frac{5}{3 - x} = \frac{1}{x - 3} - 1$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 3, 3 - x, x - 3, 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x + 3$ является само значение $x + 3$ .

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $3 - x$ является само значение $3 - x$ .

$(3 - x) = 3 - x$

$(3 - x)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $x - 3$ является само значение $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x + 3, 3 - x, x - 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 3) (3 - x) (x - 3)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{4}{x + 3} - \frac{5}{3 - x} = \frac{1}{x - 3} - 1$ умножим на $(x + 3) (3 - x) (x - 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{4}{x + 3} - \frac{5}{3 - x} = \frac{1}{x - 3} - 1$ на $(x + 3) (3 - x) (x - 3)$ .

$\frac{4}{x + 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - \frac{5}{3 - x} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $x + 3$ из $(x + 3) (3 - x) (x - 3)$ .

$\frac{4}{x + 3} ((x + 3) ((3 - x) (x - 3))) - \frac{5}{3 - x} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{x + 3} ((x + 3) ((3 - x) (x - 3))) - \frac{5}{3 - x} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$4 ((3 - x) (x - 3)) - \frac{5}{3 - x} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$4 ((- 1 (- 3) - x) (x - 3)) - \frac{5}{3 - x} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$4 ((- 1 (- 3) - (x)) (x - 3)) - \frac{5}{3 - x} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 3) - (x)$ .

$4 (- 1 (- 3 + x) (x - 3)) - \frac{5}{3 - x} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.5

Изменим порядок членов.

$4 (- 1 (x - 3) (x - 3)) - \frac{5}{3 - x} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.6

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$4 (- 1 ({(x - 3)}^{1} (x - 3))) - \frac{5}{3 - x} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.7

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$4 (- 1 ({(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{1})) - \frac{5}{3 - x} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (- 1 {(x - 3)}^{1 + 1}) - \frac{5}{3 - x} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$4 (- 1 {(x - 3)}^{2}) - \frac{5}{3 - x} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.10

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - \frac{5}{3 - x} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.11

Сократим общий множитель $3 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.11.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{3 - x}$ в числитель.

$- 4 {(x - 3)}^{2} + \frac{- 5}{3 - x} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.11.2

Вынесем множитель $3 - x$ из $(x + 3) (3 - x) (x - 3)$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} + \frac{- 5}{3 - x} ((3 - x) ((x + 3) (x - 3))) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.11.3

Сократим общий множитель.

$- 4 {(x - 3)}^{2} + \frac{- 5}{3 - x} ((3 - x) ((x + 3) (x - 3))) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.11.4

Перепишем это выражение.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 ((x + 3) (x - 3)) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.12

Развернем $(x + 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 (x (x - 3) + 3 (x - 3)) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.13

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.13.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 3$ и $3 x$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.13.2

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.13.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 (x \cdot x + 3 \cdot - 3) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.14.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 (x^{2} + 3 \cdot - 3) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.14.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 (x^{2} - 9) = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.15

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} - 5 \cdot - 9 = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.2.1.16

Умножим $- 5$ на $- 9$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = \frac{1}{x - 3} ((x + 3) (3 - x) (x - 3)) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Вынесем множитель $x - 3$ из $(x + 3) (3 - x) (x - 3)$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = \frac{1}{x - 3} ((x - 3) ((x + 3) (3 - x))) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = \frac{1}{x - 3} ((x - 3) ((x + 3) (3 - x))) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = (x + 3) (3 - x) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(x + 3) (3 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = x (3 - x) + 3 (3 - x) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = x \cdot 3 + x (- x) + 3 (3 - x) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = x \cdot 3 + x (- x) + 3 \cdot 3 + 3 (- x) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = 3 \cdot x + x (- x) + 3 \cdot 3 + 3 (- x) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.3.1.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = 3 x - x \cdot x + 3 \cdot 3 + 3 (- x) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = 3 x - (x \cdot x) + 3 \cdot 3 + 3 (- x) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.3.1.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = 3 x - x^{2} + 3 \cdot 3 + 3 (- x) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = 3 x - x^{2} + 9 + 3 (- x) - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.3.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = 3 x - x^{2} + 9 - 3 x - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.3.1.3.2

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 + 0 - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.3.1.3.3

Добавим $- x^{2}$ и $0$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - ((x + 3) (3 - x) (x - 3))$

Этап 2.3.1.4

Развернем $(x + 3) (3 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - ((x (3 - x) + 3 (3 - x)) (x - 3))$

Этап 2.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - ((x \cdot 3 + x (- x) + 3 (3 - x)) (x - 3))$

Этап 2.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - ((x \cdot 3 + x (- x) + 3 \cdot 3 + 3 (- x)) (x - 3))$

Этап 2.3.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1.1

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - ((3 \cdot x + x (- x) + 3 \cdot 3 + 3 (- x)) (x - 3))$

Этап 2.3.1.5.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - ((3 x - x \cdot x + 3 \cdot 3 + 3 (- x)) (x - 3))$

Этап 2.3.1.5.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1.3.1

Перенесем $x$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - ((3 x - (x \cdot x) + 3 \cdot 3 + 3 (- x)) (x - 3))$

Этап 2.3.1.5.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - ((3 x - x^{2} + 3 \cdot 3 + 3 (- x)) (x - 3))$

Этап 2.3.1.5.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - ((3 x - x^{2} + 9 + 3 (- x)) (x - 3))$

Этап 2.3.1.5.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - ((3 x - x^{2} + 9 - 3 x) (x - 3))$

Этап 2.3.1.5.2

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - ((- x^{2} + 9 + 0) (x - 3))$

Этап 2.3.1.5.3

Добавим $- x^{2}$ и $0$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - ((- x^{2} + 9) (x - 3))$

Этап 2.3.1.6

Развернем $(- x^{2} + 9) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - (- x^{2} (x - 3) + 9 (x - 3))$

Этап 2.3.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - (- x^{2} x - x^{2} \cdot - 3 + 9 (x - 3))$

Этап 2.3.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - (- x^{2} x - x^{2} \cdot - 3 + 9 x + 9 \cdot - 3)$

Этап 2.3.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.7.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.7.1.1

Перенесем $x$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - (- (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 3 + 9 x + 9 \cdot - 3)$

Этап 2.3.1.7.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.7.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - (- (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 3 + 9 x + 9 \cdot - 3)$

Этап 2.3.1.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - (- x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 3 + 9 x + 9 \cdot - 3)$

Этап 2.3.1.7.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - (- x^{3} - x^{2} \cdot - 3 + 9 x + 9 \cdot - 3)$

Этап 2.3.1.7.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - (- x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 9 \cdot - 3)$

Этап 2.3.1.7.3

Умножим $9$ на $- 3$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - (- x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 27)$

Этап 2.3.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 - - x^{3} - (3 x^{2}) - (9 x) - - 27$

Этап 2.3.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.9.1

Умножим $- - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.9.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 + 1 x^{3} - (3 x^{2}) - (9 x) - - 27$

Этап 2.3.1.9.1.2

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 + x^{3} - (3 x^{2}) - (9 x) - - 27$

Этап 2.3.1.9.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 + x^{3} - 3 x^{2} - (9 x) - - 27$

Этап 2.3.1.9.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 + x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - - 27$

Этап 2.3.1.9.4

Умножим $- 1$ на $- 27$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - x^{2} + 9 + x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 27$

Этап 2.3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $3 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - 4 x^{2} + 9 + x^{3} - 9 x + 27$

Этап 2.3.2.2

Добавим $9$ и $27$ .

$- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45 = - 4 x^{2} + x^{3} - 9 x + 36$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 4 x^{2} + x^{3} - 9 x + 36 = - 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45$

Этап 3.2

Упростим $- 4 {(x - 3)}^{2} - 5 x^{2} + 45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$- 4 x^{2} + x^{3} - 9 x + 36 = - 4 ((x - 3) (x - 3)) - 5 x^{2} + 45$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x^{2} + x^{3} - 9 x + 36 = - 4 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) - 5 x^{2} + 45$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x^{2} + x^{3} - 9 x + 36 = - 4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) - 5 x^{2} + 45$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x^{2} + x^{3} - 9 x + 36 = - 4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 5 x^{2} + 45$

Этап 3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- 4 x^{2} + x^{3} - 9 x + 36 = - 4 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 5 x^{2} + 45$

Этап 3.2.1.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$- 4 x^{2} + x^{3} - 9 x + 36 = - 4 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) - 5 x^{2} + 45$

Этап 3.2.1.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$- 4 x^{2} + x^{3} - 9 x + 36 = - 4 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) - 5 x^{2} + 45$

Этап 3.2.1.3.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$- 4 x^{2} + x^{3} - 9 x + 36 = - 4 (x^{2} - 6 x + 9) - 5 x^{2} + 45$

Этап 3.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x^{2} + x^{3} - 9 x + 36 = - 4 x^{2} - 4 (- 6 x) - 4 \cdot 9 - 5 x^{2} + 45$

Этап 3.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Умножим $- 6$ на $- 4$ .

$- 4 x^{2} + x^{3} - 9 x + 36 = - 4 x^{2} + 24 x - 4 \cdot 9 - 5 x^{2} + 45$

Этап 3.2.1.5.2

Умножим $- 4$ на $9$ .

$- 4 x^{2} + x^{3} - 9 x + 36 = - 4 x^{2} + 24 x - 36 - 5 x^{2} + 45$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $5 x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + x^{3} - 9 x + 36 = - 9 x^{2} + 24 x - 36 + 45$

Этап 3.2.2.2

Добавим $- 36$ и $45$ .

$- 4 x^{2} + x^{3} - 9 x + 36 = - 9 x^{2} + 24 x + 9$

Этап 3.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $9 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- 4 x^{2} + x^{3} - 9 x + 36 + 9 x^{2} = 24 x + 9$

Этап 3.3.2

Вычтем $24 x$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x^{2} + x^{3} - 9 x + 36 + 9 x^{2} - 24 x = 9$

Этап 3.3.3

Добавим $- 4 x^{2}$ и $9 x^{2}$ .

$5 x^{2} + x^{3} - 9 x + 36 - 24 x = 9$

Этап 3.3.4

Вычтем $24 x$ из $- 9 x$ .

$5 x^{2} + x^{3} - 33 x + 36 = 9$

Этап 3.4

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$5 x^{2} + x^{3} - 33 x + 36 - 9 = 0$

Этап 3.5

Вычтем $9$ из $36$ .

$5 x^{2} + x^{3} - 33 x + 27 = 0$

Этап 3.6

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Изменим порядок членов.

$x^{3} + 5 x^{2} - 33 x + 27 = 0$

Этап 3.6.2

Разложим $x^{3} + 5 x^{2} - 33 x + 27$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

Этап 3.6.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

Этап 3.6.2.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 33 \cdot 1 + 27$

Этап 3.6.2.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 + 5 \cdot 1^{2} - 33 \cdot 1 + 27$

Этап 3.6.2.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 + 5 \cdot 1 - 33 \cdot 1 + 27$

Этап 3.6.2.3.4

Умножим $5$ на $1$ .

$1 + 5 - 33 \cdot 1 + 27$

Этап 3.6.2.3.5

Добавим $1$ и $5$ .

$6 - 33 \cdot 1 + 27$

Этап 3.6.2.3.6

Умножим $- 33$ на $1$ .

$6 - 33 + 27$

Этап 3.6.2.3.7

Вычтем $33$ из $6$ .

$- 27 + 27$

Этап 3.6.2.3.8

Добавим $- 27$ и $27$ .

$0$

Этап 3.6.2.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 33 x + 27}{x - 1}$

Этап 3.6.2.5

Разделим $x^{3} + 5 x^{2} - 33 x + 27$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$33 x$

$27$

Этап 3.6.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$33 x$	+	$27$

Этап 3.6.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$33 x$	+	$27$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 3.6.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$33 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 3.6.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$33 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Этап 3.6.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$33 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$33 x$

Этап 3.6.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$33 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$33 x$

Этап 3.6.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$33 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$33 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 3.6.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{2} - 6 x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$33 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$33 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 3.6.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$33 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$33 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$27 x$

Этап 3.6.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$33 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$33 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$27 x$	+	$27$

Этап 3.6.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 27 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$27$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$33 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$33 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$27 x$	+	$27$

Этап 3.6.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$27$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$33 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$33 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$27 x$	+	$27$
							-	$27 x$	+	$27$

Этап 3.6.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 27 x + 27$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$27$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$33 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$33 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$27 x$	+	$27$
							+	$27 x$	-	$27$

Этап 3.6.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$27$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$33 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$33 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$27 x$	+	$27$
							+	$27 x$	-	$27$
										$0$

Этап 3.6.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 6 x - 27$

Этап 3.6.2.6

Запишем $x^{3} + 5 x^{2} - 33 x + 27$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (x^{2} + 6 x - 27) = 0$

Этап 3.6.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Разложим $x^{2} + 6 x - 27$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 27$ , а сумма — $6$ .

$- 3, 9$

Этап 3.6.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) ((x - 3) (x + 9)) = 0$

Этап 3.6.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (x - 3) (x + 9) = 0$

Этап 3.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 9 = 0$

Этап 3.8

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.8.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3.9

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.9.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.10

Приравняем $x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Приравняем $x + 9$ к $0$ .

$x + 9 = 0$

Этап 3.10.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = - 9$

Этап 3.11

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x - 3) (x + 9) = 0$ верно.

$x = 1, 3, - 9$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\frac{4}{x + 3} - \frac{5}{3 - x} = \frac{1}{x - 3} - 1$ истинным.

$x = 1, - 9$