Алгебра Примеры

$\log_{9} (4 x - 5) < \log_{9} (- 2 x + 1)$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log_{9} (4 x - 5) = \log_{9} (- 2 x + 1)$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$4 x - 5 = - 2 x + 1$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$4 x - 5 + 2 x = 1$

Этап 2.2.1.2

Добавим $4 x$ и $2 x$ .

$6 x - 5 = 1$

Этап 2.2.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$6 x = 1 + 5$

Этап 2.2.2.2

Добавим $1$ и $5$ .

$6 x = 6$

Этап 2.2.3

Разделим каждый член $6 x = 6$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим каждый член $6 x = 6$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Этап 2.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Этап 2.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{6}{6}$

Этап 2.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Разделим $6$ на $6$ .

$x = 1$

Этап 3

Найдем область определения $\log_{9} (\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log_{9} (\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1} > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$4 x - 5 = 0$

$- 2 x + 1 = 0$

Этап 3.2.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 5$

Этап 3.2.3

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 3.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Этап 3.2.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 1$

Этап 3.2.5

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \frac{5}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.7

Объединим решения.

$x = \frac{5}{4}, \frac{1}{2}$

Этап 3.2.8

Найдем область определения $\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Зададим знаменатель в $\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$- 2 x + 1 = 0$

Этап 3.2.8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 1$

Этап 3.2.8.2.2

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.2.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.2.8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.2.8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 3.2.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$

$x > \frac{5}{4}$

Этап 3.2.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 3.2.10.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 (0) - 5}{- 2 \cdot 0 + 1} > 0$

Этап 3.2.10.1.3

Левая часть $- 5$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 3.2.10.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 3.2.10.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 (1) - 5}{- 2 \cdot 1 + 1} > 0$

Этап 3.2.10.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.2.10.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 3.2.10.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 (4) - 5}{- 2 \cdot 4 + 1} > 0$

Этап 3.2.10.3.3

Левая часть $- 1.\overline{571428}$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 3.2.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ Истина

$x > \frac{5}{4}$ Ложь

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ Истина

$x > \frac{5}{4}$ Ложь

Этап 3.2.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$

Этап 3.3

Зададим знаменатель в $\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$- 2 x + 1 = 0$

Этап 3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 1$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 1$

$1 < x < \frac{5}{4}$

$x > \frac{5}{4}$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\log_{9} (4 (0) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 0 + 1)$

Этап 5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.75$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $0.75$ в исходном неравенстве.

$\log_{9} (4 (0.75) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 0.75 + 1)$

Этап 5.2.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.2.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $1 < x < \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $1 < x < \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.12$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $1.12$ в исходном неравенстве.

$\log_{9} (4 (1.12) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 1.12 + 1)$

Этап 5.3.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.3.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.4

Проверим значение на интервале $x > \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 5.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\log_{9} (4 (4) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 4 + 1)$

Этап 5.4.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.4.3.2

Правая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < 1$ Ложь

$1 < x < \frac{5}{4}$ Ложь

$x > \frac{5}{4}$ Ложь

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < 1$ Ложь

$1 < x < \frac{5}{4}$ Ложь

$x > \frac{5}{4}$ Ложь

Этап 6

Поскольку попадающие в этот интервал числа отсутствуют, это неравенство не имеет решения.

Нет решения