Алгебра Примеры

$2 \sqrt{3 x + 6} - 8 \leq 4$

Этап 1

Перенесем все члены без $2 \sqrt{3 x + 6}$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $8$ к обеим частям неравенства.

$2 \sqrt{3 x + 6} \leq 4 + 8$

Этап 1.2

Добавим $4$ и $8$ .

$2 \sqrt{3 x + 6} \leq 12$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(2 \sqrt{3 x + 6})}^{2} \leq 12^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x + 6}$ в виде ${(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 12^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(2 {(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 12^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 12^{2}$

Этап 3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(3 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 12^{2}$

Этап 3.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(3 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 12^{2}$

Этап 3.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(3 x + 6)}^{1} \leq 12^{2}$

Этап 3.2.1.4

Упростим.

$4 (3 x + 6) \leq 12^{2}$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (3 x) + 4 \cdot 6 \leq 12^{2}$

Этап 3.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x + 4 \cdot 6 \leq 12^{2}$

Этап 3.2.1.6.2

Умножим $4$ на $6$ .

$12 x + 24 \leq 12^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$12 x + 24 \leq 144$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $24$ из обеих частей неравенства.

$12 x \leq 144 - 24$

Этап 4.1.2

Вычтем $24$ из $144$ .

$12 x \leq 120$

Этап 4.2

Разделим каждый член $12 x \leq 120$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $12 x \leq 120$ на $12$ .

$\frac{12 x}{12} \leq \frac{120}{12}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x}{12} \leq \frac{120}{12}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{120}{12}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $120$ на $12$ .

$x \leq 10$

Этап 5

Найдем область определения $2 \sqrt{3 (x + 2)} - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{3 (x + 2)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$3 (x + 2) \geq 0$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $3 (x + 2) \geq 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Разделим каждый член $3 (x + 2) \geq 0$ на $3$ .

$\frac{3 (x + 2)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Этап 5.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (x + 2)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Этап 5.2.1.2.1.2

Разделим $x + 2$ на $1$ .

$x + 2 \geq \frac{0}{3}$

Этап 5.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x + 2 \geq 0$

Этап 5.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 2$

Этап 5.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 2, \infty)$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 10$

$x > 10$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$2 \sqrt{3 (- 4) + 6} - 8 \leq 4$

Этап 7.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 10$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 10$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$2 \sqrt{3 (0) + 6} - 8 \leq 4$

Этап 7.2.3

Левая часть $- 3.10102051$ меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $x > 10$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $x > 10$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

$2 \sqrt{3 (12) + 6} - 8 \leq 4$

Этап 7.3.3

Левая часть $4.96148139$ больше правой части $4$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 10$ Истина

$x > 10$ Ложь

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 10$ Истина

$x > 10$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 2 \leq x \leq 10$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 2 \leq x \leq 10$

Интервальное представление:

$[- 2, 10]$

Этап 10