Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{3}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{3}$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3} = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3}) = 2 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(y - 1)}^{3}$ .

$2 \frac{{(y - 1)}^{3}}{2} = 2 x$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{{(y - 1)}^{3}}{2} = 2 x$

Этап 3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y - 1)}^{3} = 2 x$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y - 1 = \sqrt[3]{2 x}$

Этап 3.5

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = \sqrt[3]{2 x} + 1$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$ обратной к $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{2 (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3})} + 1$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{2}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}} + 1$

Этап 5.2.3.2

Объединим $\frac{2}{2}$ и ${(x - 1)}^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{2 {(x - 1)}^{3}}{2}} + 1$

Этап 5.2.3.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Сократим выражение $\frac{2 {(x - 1)}^{3}}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{2 {(x - 1)}^{3}}{2}} + 1$

Этап 5.2.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{{(x - 1)}^{3}}{1}} + 1$

Этап 5.2.3.3.2

Разделим ${(x - 1)}^{3}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{{(x - 1)}^{3}} + 1$

Этап 5.2.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = x - 1 + 1$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[3]{2 x} + 1)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {((\sqrt[3]{2 x} + 1) - 1)}^{3}$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в $(\sqrt[3]{2 x} + 1) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt[3]{2 x} + 0)}^{3}$

Этап 5.3.3.2

Добавим $\sqrt[3]{2 x}$ и $0$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {\sqrt[3]{2 x}}^{3}$

Этап 5.3.4

Перепишем ${\sqrt[3]{2 x}}^{3}$ в виде $2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {({(2 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Этап 5.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Этап 5.3.4.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x)}^{\frac{3}{3}}$

Этап 5.3.4.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x)}^{\frac{3}{3}}$

Этап 5.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Этап 5.3.4.5

Упростим.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Этап 5.3.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Этап 5.3.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$