Алгебра Примеры

$(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})$

Этап 1

Развернем $(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 1 \sqrt{2} + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Этап 2.1.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$1 + \sqrt{2} + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Этап 2.1.3

Умножим $- \sqrt{3}$ на $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Этап 2.1.4

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Этап 2.1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Этап 2.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{4} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Этап 2.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Этап 2.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Этап 2.1.9

Умножим $\sqrt{2} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Этап 2.1.9.2

Умножим $2$ на $3$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Этап 2.1.10

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Этап 2.1.11

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Этап 2.1.12

Умножим $3$ на $2$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Этап 2.1.13

Умножим $\sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Этап 2.1.13.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Этап 2.1.13.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Этап 2.1.13.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - {\sqrt{3}}^{2}$

Этап 2.1.14

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.1.14.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.1.14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.14.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.4.1

Сократим общий множитель.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.14.4.2

Перепишем это выражение.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{1}$

Этап 2.1.14.5

Найдем экспоненту.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 1 \cdot 3$

Этап 2.1.15

Умножим $- 1$ на $3$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Добавим $1$ и $2$ .

$3 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3$

Этап 2.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$0 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$

Этап 2.2.2.2

Добавим $0$ и $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$

Этап 2.2.3

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$

Этап 2.2.4

Добавим $- \sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{2} + 0 - \sqrt{6} + \sqrt{6}$

Этап 2.2.5

Добавим $2 \sqrt{2}$ и $0$ .

$2 \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6}$

Этап 2.2.6

Добавим $- \sqrt{6}$ и $\sqrt{6}$ .

$2 \sqrt{2} + 0$

Этап 2.2.7

Добавим $2 \sqrt{2}$ и $0$ .

$2 \sqrt{2}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$2.82842712 \dots$