Алгебра Примеры

$x^{2} + (y - {(\frac{4}{x})}^{2}) \cdot 2 = 1$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 y - \frac{32}{x^{2}} = 1 - x^{2}$

Этап 1.1.2

Добавим $\frac{32}{x^{2}}$ к обеим частям уравнения.

$2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$

Этап 1.2

Разделим каждый член $2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{32}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.2.3.1.3

Объединим.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{32 \cdot 1}{x^{2} \cdot 2}$

Этап 1.2.3.1.4

Сократим общий множитель $32$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $32 \cdot 1$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{x^{2} \cdot 2}$

Этап 1.2.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{2 \cdot x^{2}}$

Этап 1.2.3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{2 \cdot x^{2}}$

Этап 1.2.3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.2.3.1.5

Умножим $16$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Этап 2

Найдем, где выражение $\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$ не определено.

$x = 0$

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Этап 6.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Этап 6.1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Этап 6.1.3

Чтобы записать $\frac{(1 + x) (1 - x)}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{16}{x^{2}}$

Этап 6.1.4

Чтобы записать $\frac{16}{x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{16}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.1.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Умножим $\frac{(1 + x) (1 - x)}{2}$ на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.1.5.2

Умножим $\frac{16}{x^{2}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16 \cdot 2}{x^{2} \cdot 2}$

Этап 6.1.5.3

Изменим порядок множителей в $x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.1

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(1 (1 - x) + x (1 - x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.7.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.7.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.7.2.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$\frac{(1 - x + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.7.2.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{(1 - x + x + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.7.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{(1 - x + x - x \cdot x) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.7.2.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{(1 - x + x - (x \cdot x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.7.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{(1 - x + x - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.7.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{(1 + 0 - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.7.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(1 - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 x^{2} - x^{2} x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.7.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - x^{2} x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.7.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - (x^{2} x^{2}) + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.7.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} - x^{2 + 2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.7.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{x^{2} - x^{4} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.7.6

Умножим $16$ на $2$ .

$\frac{x^{2} - x^{4} + 32}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.7.7

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.8

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.8.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{4}$ .

$\frac{- (x^{4}) + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.8.2

Вынесем множитель $- 1$ из $x^{2}$ .

$\frac{- (x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.8.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{4}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.8.4

Перепишем $32$ в виде $- 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.8.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.8.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.8.6.1

Перепишем $- (x^{4} - x^{2} - 32)$ в виде $- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)$ .

$\frac{- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.8.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 32}{2 x^{2}}$

Этап 6.1.9

Упростим.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Этап 6.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{4}$ .

$\frac{- (x^{4}) + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $x^{2}$ .

$\frac{- (x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{4}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Этап 6.2.4

Перепишем $32$ в виде $- 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)}{2 x^{2}}$

Этап 6.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Этап 6.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Перепишем $- (x^{4} - x^{2} - 32)$ в виде $- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)$ .

$\frac{- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Этап 6.2.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 32}{2 x^{2}}$

Этап 6.3

Развернем $- (x^{4} - x^{2} - 32)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Изменим знак $x^{4} - x^{2} - 32$ на противоположный.

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Этап 6.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Этап 6.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Этап 6.3.4

Перенесем круглые скобки.

$\frac{- x^{4} + 1 x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Этап 6.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{4} + 1 x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Этап 6.3.6

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Этап 6.3.7

Умножим $- 1$ на $- 32$ .

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Этап 6.4

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Этап 6.5

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Этап 6.6

Умножим новое частное на делитель.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

Этап 6.7

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{4} + 0 + 0$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

Этап 6.8

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Этап 6.9

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Этап 6.10

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Этап 6.11

Умножим новое частное на делитель.

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

Этап 6.12

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 0 + 0$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

Этап 6.13

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

$32$

Этап 6.14

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{32}{2 x^{2}}$

Этап 6.15

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 8