Алгебра Примеры

$3 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot 5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot (5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4})))$

Этап 1.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4})))$

Этап 1.1.3

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4})))$

Этап 1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 (\frac{1}{2}) + 3 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4})))$

Этап 1.2.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + 3 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4})))$

Этап 1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4})))$

Этап 1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{π}{4})))$

Этап 1.3.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}))$

Этап 1.3.3

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2}))$

Этап 1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 \frac{\sqrt{2}}{2} + 5 \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Этап 1.4.2

Объединим $5$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Этап 1.4.3

Объединим $5$ и $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 (i \sqrt{2})}{2})$

Этап 2

Развернем $(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) (\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 i \sqrt{2}}{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3}{2} (\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 i \sqrt{2}}{2}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} (\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 i \sqrt{2}}{2})$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} (\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 i \sqrt{2}}{2})$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{3}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{2})}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.1.1.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.1.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.1.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{5 i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{3 (5 i \sqrt{2})}{2 \cdot 2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.1.2.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 (i \sqrt{2})}{2 \cdot 2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.1.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 (i \sqrt{2})}{4} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.1.3

Умножим $\frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Умножим $\frac{3 i \sqrt{3}}{2}$ на $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{3} (5 \sqrt{2})}{2 \cdot 2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.1.3.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.1.3.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.1.3.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.1.3.5

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.1.4

Умножим $\frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $\frac{3 i \sqrt{3}}{2}$ на $\frac{5 i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{3 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.4.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i \sqrt{3} (i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.4.4

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.4.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.4.8

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.4.9

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{6}}{4}$

Этап 3.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 \cdot - 1 \sqrt{6}}{4}$

Этап 3.1.5.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{- (15 \sqrt{6})}{4}$

Этап 3.1.5.2.2

Умножим $15$ на $- 1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{- 15 \sqrt{6}}{4}$

Этап 3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} - \frac{15 \sqrt{6}}{4}$

Этап 3.2

Изменим порядок $\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4}$ и $- \frac{15 \sqrt{6}}{4}$ .

$- \frac{15 \sqrt{6}}{4} + \frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4}$