Алгебра Примеры

$\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < | 10 - x^{2} |$

Этап 1

Запишем $\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < | 10 - x^{2} |$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$10 - x^{2} \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $10$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 10$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 10$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 10$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Этап 1.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $- 10$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Этап 1.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Этап 1.2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Этап 1.2.5

Запишем $| x | \leq \sqrt{10}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 1.2.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq \sqrt{10}$

Этап 1.2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 1.2.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{10}$

Этап 1.2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.2.6

Найдем пересечение $x \leq \sqrt{10}$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Этап 1.2.7

Решим $- x \leq \sqrt{10}$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Разделим каждый член $- x \leq \sqrt{10}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Разделим каждый член $- x \leq \sqrt{10}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 1.2.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 1.2.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 1.2.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Этап 1.2.7.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{10}$ в виде $- \sqrt{10}$ .

$x \geq - \sqrt{10}$

Этап 1.2.7.2

Найдем пересечение $x \geq - \sqrt{10}$ и $x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Этап 1.2.8

Найдем объединение решений.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Этап 1.3

В части, где $10 - x^{2}$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < 10 - x^{2}$

Этап 1.4

Найдем область определения $\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < 10 - x^{2}$ и пересечение с $- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем область определения $\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < 10 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{10 - x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$10 - x^{2} \geq 0$

Этап 1.4.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Вычтем $10$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 10$

Этап 1.4.1.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 10$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Этап 1.4.1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Этап 1.4.1.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Этап 1.4.1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.3.1

Разделим $- 10$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Этап 1.4.1.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Этап 1.4.1.2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Этап 1.4.1.2.5

Запишем $| x | \leq \sqrt{10}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 1.4.1.2.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq \sqrt{10}$

Этап 1.4.1.2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 1.4.1.2.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{10}$

Этап 1.4.1.2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.4.1.2.6

Найдем пересечение $x \leq \sqrt{10}$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Этап 1.4.1.2.7

Решим $- x \leq \sqrt{10}$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1

Разделим каждый член $- x \leq \sqrt{10}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1.1

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 1.4.1.2.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 1.4.1.2.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 1.4.1.2.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Этап 1.4.1.2.7.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{10}$ в виде $- \sqrt{10}$ .

$x \geq - \sqrt{10}$

Этап 1.4.1.2.7.2

Найдем пересечение $x \geq - \sqrt{10}$ и $x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Этап 1.4.1.2.8

Найдем объединение решений.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Этап 1.4.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Этап 1.4.2

Найдем пересечение $- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$ и $[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$ .

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Этап 1.5

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$10 - x^{2} < 0$

Этап 1.6

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вычтем $10$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} < - 10$

Этап 1.6.2

Разделим каждый член $- x^{2} < - 10$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} < - 10$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 10}{- 1}$

Этап 1.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 10}{- 1}$

Этап 1.6.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} > \frac{- 10}{- 1}$

Этап 1.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.3.1

Разделим $- 10$ на $- 1$ .

$x^{2} > 10$

Этап 1.6.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{10}$

Этап 1.6.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | > \sqrt{10}$

Этап 1.6.5

Запишем $| x | > \sqrt{10}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 1.6.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x > \sqrt{10}$

Этап 1.6.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 1.6.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x > \sqrt{10}$

Этап 1.6.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x > \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x > \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.6.6

Найдем пересечение $x > \sqrt{10}$ и $x \geq 0$ .

$x > \sqrt{10}$

Этап 1.6.7

Разделим каждый член $- x > \sqrt{10}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.1

Разделим каждый член $- x > \sqrt{10}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 1.6.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} < \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 1.6.7.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 1.6.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x < - 1 \cdot \sqrt{10}$

Этап 1.6.7.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{10}$ в виде $- \sqrt{10}$ .

$x < - \sqrt{10}$

Этап 1.6.8

Найдем объединение решений.

$x < - \sqrt{10}$ или $x > \sqrt{10}$

Этап 1.7

В части, где $10 - x^{2}$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < - (10 - x^{2})$

Этап 1.8

Найдем область определения $\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < - (10 - x^{2})$ и пересечение с $x < - \sqrt{10} or x > \sqrt{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Найдем область определения $\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < - (10 - x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

$10 - x^{2} \geq 0$

Этап 1.8.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.1

Вычтем $10$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 10$

Этап 1.8.1.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 10$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.2.1

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Этап 1.8.1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Этап 1.8.1.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Этап 1.8.1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.2.3.1

Разделим $- 10$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Этап 1.8.1.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Этап 1.8.1.2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.4.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Этап 1.8.1.2.5

Запишем $| x | \leq \sqrt{10}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 1.8.1.2.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq \sqrt{10}$

Этап 1.8.1.2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 1.8.1.2.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{10}$

Этап 1.8.1.2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.8.1.2.6

Найдем пересечение $x \leq \sqrt{10}$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Этап 1.8.1.2.7

Решим $- x \leq \sqrt{10}$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.7.1

Разделим каждый член $- x \leq \sqrt{10}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.7.1.1

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 1.8.1.2.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 1.8.1.2.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 1.8.1.2.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.7.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Этап 1.8.1.2.7.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{10}$ в виде $- \sqrt{10}$ .

$x \geq - \sqrt{10}$

Этап 1.8.1.2.7.2

Найдем пересечение $x \geq - \sqrt{10}$ и $x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Этап 1.8.1.2.8

Найдем объединение решений.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Этап 1.8.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Этап 1.8.2

Найдем пересечение $x < - \sqrt{10} or x > \sqrt{10}$ и $[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$ .

$Нет решения$

Этап 1.9

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} \sqrt{10 - x^{2}} + 6 < 10 - x^{2} & - \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10} \end{cases}$

Этап 2

Решим $\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < 10 - x^{2}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем все члены без $\sqrt{10 - x^{2}}$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $6$ из обеих частей неравенства.

$\sqrt{10 - x^{2}} < 10 - x^{2} - 6$

Этап 2.1.2

Вычтем $6$ из $10$ .

$\sqrt{10 - x^{2}} < - x^{2} + 4$

Этап 2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(- x^{2} + 4)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10 - x^{2}}$ в виде ${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- x^{2} + 4)}^{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим ${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- x^{2} + 4)}^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- x^{2} + 4)}^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(10 - x^{2})}^{1} < {(- x^{2} + 4)}^{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Упростим.

$10 - x^{2} < {(- x^{2} + 4)}^{2}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим ${(- x^{2} + 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Перепишем ${(- x^{2} + 4)}^{2}$ в виде $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ .

$10 - x^{2} < (- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$

Этап 2.3.3.1.2

Развернем $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 - x^{2} < - x^{2} (- x^{2} + 4) + 4 (- x^{2} + 4)$

Этап 2.3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 - x^{2} < - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2} + 4)$

Этап 2.3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$10 - x^{2} < - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$10 - x^{2} < - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.3.1.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$10 - x^{2} < - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 - x^{2} < - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.3.1.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$10 - x^{2} < - 1 \cdot - 1 x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.3.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$10 - x^{2} < 1 x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.3.1.3.1.4

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$10 - x^{2} < x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.3.1.3.1.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$10 - x^{2} < x^{4} - 4 x^{2} + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$10 - x^{2} < x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.3.1.3.1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$10 - x^{2} < x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16$

Этап 2.3.3.1.3.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$10 - x^{2} < x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Этап 2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем таким образом, чтобы $x$ оказалось в левой части неравенства.

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 > 10 - x^{2}$

Этап 2.4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям неравенства.

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 + x^{2} > 10$

Этап 2.4.2.2

Добавим $- 8 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$x^{4} - 7 x^{2} + 16 > 10$

Этап 2.4.3

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 7 u + 16 = 10$

$u = x^{2}$

Этап 2.4.4

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} - 7 u + 16 - 10 = 0$

Этап 2.4.5

Вычтем $10$ из $16$ .

$u^{2} - 7 u + 6 = 0$

Этап 2.4.6

Разложим $u^{2} - 7 u + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 7$ .

$- 6, - 1$

Этап 2.4.6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 6) (u - 1) = 0$

Этап 2.4.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 6 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 2.4.8

Приравняем $u - 6$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1

Приравняем $u - 6$ к $0$ .

$u - 6 = 0$

Этап 2.4.8.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$u = 6$

Этап 2.4.9

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.9.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 2.4.9.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 2.4.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 6) (u - 1) = 0$ верно.

$u = 6, 1$

Этап 2.4.11

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 6$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Этап 2.4.12

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 6$

Этап 2.4.13

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.13.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{6}$

Этап 2.4.13.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.13.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{6}$

Этап 2.4.13.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{6}$

Этап 2.4.13.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Этап 2.4.14

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Этап 2.4.15

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.15.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 1$

Этап 2.4.15.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 2.4.15.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 2.4.15.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.15.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 2.4.15.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 2.4.15.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 2.4.16

Решением $x^{4} - 7 x^{2} + 16 = 10$ является $x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 1, - 1$ .

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 1, - 1$

Этап 2.5

Найдем область определения $\sqrt{10 - x^{2}} - 4 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

$10 - x^{2} \geq 0$

Этап 2.5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $10$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 10$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 10$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Разделим $- 10$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Этап 2.5.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Этап 2.5.2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Этап 2.5.2.5

Запишем $| x | \leq \sqrt{10}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.5.2.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq \sqrt{10}$

Этап 2.5.2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.5.2.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{10}$

Этап 2.5.2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.5.2.6

Найдем пересечение $x \leq \sqrt{10}$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Этап 2.5.2.7

Решим $- x \leq \sqrt{10}$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.1

Разделим каждый член $- x \leq \sqrt{10}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.1.1

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 2.5.2.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 2.5.2.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Этап 2.5.2.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Этап 2.5.2.7.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{10}$ в виде $- \sqrt{10}$ .

$x \geq - \sqrt{10}$

Этап 2.5.2.7.2

Найдем пересечение $x \geq - \sqrt{10}$ и $x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Этап 2.5.2.8

Найдем объединение решений.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Этап 2.5.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Этап 2.6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \sqrt{10}$

$- \sqrt{10} < x < - \sqrt{6}$

$- \sqrt{6} < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < \sqrt{6}$

$\sqrt{6} < x < \sqrt{10}$

$x > \sqrt{10}$

Этап 2.7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Проверим значение на интервале $x < - \sqrt{10}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \sqrt{10}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 2.7.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{10 - {(- 6)}^{2}} + 6 < 10 - {(- 6)}^{2}$

Этап 2.7.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.7.2

Проверим значение на интервале $- \sqrt{10} < x < - \sqrt{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Выберем значение на интервале $- \sqrt{10} < x < - \sqrt{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 2.7.2.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{10 - {(- 3)}^{2}} + 6 < 10 - {(- 3)}^{2}$

Этап 2.7.2.3

Левая часть $7$ не меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.7.3

Проверим значение на интервале $- \sqrt{6} < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Выберем значение на интервале $- \sqrt{6} < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 2.7.3.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{10 - {(- 2)}^{2}} + 6 < 10 - {(- 2)}^{2}$

Этап 2.7.3.3

Левая часть $8.44948974$ не меньше правой части $6$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.7.4

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.7.4.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{10 - {(0)}^{2}} + 6 < 10 - {(0)}^{2}$

Этап 2.7.4.3

Левая часть $9.16227766$ меньше правой части $10$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.7.5

Проверим значение на интервале $1 < x < \sqrt{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.1

Выберем значение на интервале $1 < x < \sqrt{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 2.7.5.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{10 - {(2)}^{2}} + 6 < 10 - {(2)}^{2}$

Этап 2.7.5.3

Левая часть $8.44948974$ не меньше правой части $6$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.7.6

Проверим значение на интервале $\sqrt{6} < x < \sqrt{10}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.6.1

Выберем значение на интервале $\sqrt{6} < x < \sqrt{10}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 2.7.6.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{10 - {(3)}^{2}} + 6 < 10 - {(3)}^{2}$

Этап 2.7.6.3

Левая часть $7$ не меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.7.7

Проверим значение на интервале $x > \sqrt{10}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.7.1

Выберем значение на интервале $x > \sqrt{10}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 2.7.7.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{10 - {(6)}^{2}} + 6 < 10 - {(6)}^{2}$

Этап 2.7.7.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.7.8

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \sqrt{10}$ Ложь

$- \sqrt{10} < x < - \sqrt{6}$ Ложь

$- \sqrt{6} < x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$1 < x < \sqrt{6}$ Ложь

$\sqrt{6} < x < \sqrt{10}$ Ложь

$x > \sqrt{10}$ Ложь

$x < - \sqrt{10}$ Ложь

$- \sqrt{10} < x < - \sqrt{6}$ Ложь

$- \sqrt{6} < x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$1 < x < \sqrt{6}$ Ложь

$\sqrt{6} < x < \sqrt{10}$ Ложь

$x > \sqrt{10}$ Ложь

Этап 2.8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 < x < 1$

Этап 3

Найдем объединение решений.

$- 1 < x < 1$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 1 < x < 1$

Интервальное представление:

$(- 1, 1)$

Этап 5