Алгебра Примеры

$(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) (\frac{3 x}{x^{2} + 6 x + 9})$

Этап 1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) \frac{3 x}{x^{2} + 6 x + 3^{2}}$

Этап 1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 1.3

Перепишем многочлен.

$(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) \frac{3 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

Этап 1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) \frac{3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2

Умножим $\frac{3}{x} - \frac{x}{3}$ на $\frac{3 x}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) (3 x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы записать $\frac{3}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(\frac{3}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x}{3}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2

Чтобы записать $- \frac{x}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{3}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{x}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x \cdot 3$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{3}{x}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(\frac{3 \cdot 3}{x \cdot 3} - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{x}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Умножим $\frac{x}{3}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{3 \cdot 3}{x \cdot 3} - \frac{x \cdot x}{3 x}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок множителей в $x \cdot 3$ .

$\frac{(\frac{3 \cdot 3}{3 x} - \frac{x \cdot x}{3 x}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 \cdot 3 - x \cdot x}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{\frac{9 - x \cdot x}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{9 - (x \cdot x)}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.5.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{9 - x^{2}}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.5.3

Перепишем $9 - x^{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\frac{3^{2} - x^{2}}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.5.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3$ и $b = x$ .

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 x}$ и $3$ .

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3}{3 x} x}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Объединим $\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3}{3 x}$ и $x$ .

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3 x}{3 x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.7

Сократим выражение $\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3 x}{3 x}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3 x}{3 x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) x}{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.8

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) x}{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.8.2

Разделим $(3 + x) (3 - x)$ на $1$ .

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.9

Развернем $(3 + x) (3 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (3 - x) + x (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- x) + x (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- x) + x \cdot 3 + x (- x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9 + 3 (- x) + x \cdot 3 + x (- x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.10.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{9 - 3 x + x \cdot 3 + x (- x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.10.1.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{9 - 3 x + 3 \cdot x + x (- x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.10.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{9 - 3 x + 3 x - x \cdot x}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.10.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{9 - 3 x + 3 x - (x \cdot x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.10.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{9 - 3 x + 3 x - x^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.10.2

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$\frac{9 + 0 - x^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.10.3

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{9 - x^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.11

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{3^{2} - x^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.12

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4

Сократим общий множитель $3 + x$ и ${(x + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{(x + 3) (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x + 3$ из ${(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (3 - x)}{(x + 3) (x + 3)}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 3) (3 - x)}{(x + 3) (x + 3)}$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 - x}{x + 3}$