Алгебра Примеры

$\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} - 4 x + 4 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 2.2.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Этап 2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 2$

$x > 2$

Этап 2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Проверим значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.6.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 4 \geq 0$

Этап 2.6.1.3

Левая часть $4$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.6.2

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.6.2.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 4 \geq 0$

Этап 2.6.2.3

Левая часть $4$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.6.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 2$ Истина

$x > 2$ Истина

$x < 2$ Истина

$x > 2$ Истина

Этап 2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 2$ или $x \geq 2$

Этап 2.8

Объединим интервалы.

Все вещественные числа

Этап 3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \in ℝ}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Диапазон: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Этап 6