Алгебра Примеры

$\sqrt{x^{2} - 4 x + 4} > 0$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}}^{2} > 0^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$ в виде ${(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} - 4 x + 4)}^{1} > 0^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$x^{2} - 4 x + 4 > 0^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{2} - 4 x + 4 > 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Этап 3.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Этап 3.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 3.2.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Этап 3.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 3.3

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 2$

$x > 2$

Этап 5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 4} > 0$

Этап 5.1.3

Левая часть $2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{{(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 4} > 0$

Этап 5.2.3

Левая часть $2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 2$ Истина

$x > 2$ Истина

$x < 2$ Истина

$x > 2$ Истина

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 2$ или $x > 2$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < 2 or x > 2$

Интервальное представление:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 8