Алгебра Примеры

$y = 2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$ .

$2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4}$ .

$2 (x^{4}) + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8 x^{3}$ .

$2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2}$ .

$2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) - 8 x - 6 = 0$

Этап 1.2.2.1.4

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x$ .

$2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) - 6 = 0$

Этап 1.2.2.1.5

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$2 x^{4} + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Этап 1.2.2.1.6

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4} + 2 (4 x^{3})$ .

$2 (x^{4} + 4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Этап 1.2.2.1.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{4} + 4 x^{3}) + 2 (2 x^{2})$ .

$2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Этап 1.2.2.1.8

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ .

$2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Этап 1.2.2.1.9

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 3$ .

$2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 3) = 0$

Этап 1.2.2.2

Перегруппируем члены.

$2 (4 x^{3} - 4 x + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3}$ .

$2 (4 x (x^{2}) - 4 x + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Этап 1.2.2.3.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 4 x$ .

$2 (4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Этап 1.2.2.3.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ .

$2 (4 x (x^{2} - 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Этап 1.2.2.4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 (4 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Этап 1.2.2.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$2 (4 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Этап 1.2.2.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Этап 1.2.2.6

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Этап 1.2.2.7

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} + 2 u - 3) = 0$

Этап 1.2.2.8

Разложим $u^{2} + 2 u - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.8.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $2$ .

$- 1, 3$

Этап 1.2.2.8.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (u + 3)) = 0$

Этап 1.2.2.9

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Этап 1.2.2.10

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 3)) = 0$

Этап 1.2.2.11

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Этап 1.2.2.12

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $4 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.12.1

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $4 x (x + 1) (x - 1)$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (4 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Этап 1.2.2.12.2

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $(x + 1) (x - 1) (4 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (4 x + x^{2} + 3)) = 0$

Этап 1.2.2.13

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$2 ((x + 1) (x - 1) (4 u + u^{2} + 3)) = 0$

Этап 1.2.2.14

Разложим $4 u + u^{2} + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.14.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $4$ .

$1, 3$

Этап 1.2.2.14.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 ((x + 1) (x - 1) ((u + 1) (u + 3))) = 0$

Этап 1.2.2.15

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.15.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x + 3))) = 0$

Этап 1.2.2.15.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 ((x + 1) (x - 1) (x + 1) (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.2.16

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.16.1

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.16.1.1

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$2 ((x + 1) (x + 1) (x - 1) (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.2.16.1.2

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$2 ((x + 1) (x + 1) (x - 1) (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.2.16.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 ({(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1) (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.2.16.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 ({(x + 1)}^{2} (x - 1) (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.2.16.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (x + 3) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим ${(x + 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.6

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (x + 3) = 0$ верно.

$x = - 1, 1, - 3$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(- 1, 0), (1, 0), (- 3, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 2 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 \cdot 0^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 2 \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 2 \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Этап 2.2.4

Избавимся от скобок.

$y = 2 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Этап 2.2.5

Упростим $2 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 2 \cdot 0 + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Этап 2.2.5.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$y = 0 + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Этап 2.2.5.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 8 \cdot 0 + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Этап 2.2.5.1.4

Умножим $8$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Этап 2.2.5.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 0 + 4 \cdot 0 - 8 \cdot 0 - 6$

Этап 2.2.5.1.6

Умножим $4$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 8 \cdot 0 - 6$

Этап 2.2.5.1.7

Умножим $- 8$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 - 6$

Этап 2.2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 6$

Этап 2.2.5.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 - 6$

Этап 2.2.5.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 - 6$

Этап 2.2.5.2.4

Вычтем $6$ из $0$ .

$y = - 6$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - 6)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(- 1, 0), (1, 0), (- 3, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, - 6)$

Этап 4