Алгебра Примеры

$2 | x - 1 | - x^{2} + 2 x + 7 = 0$

Этап 1

Перенесем все члены без $| x - 1 |$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$2 | x - 1 | + 2 x + 7 = x^{2}$

Этап 1.2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$2 | x - 1 | + 7 = x^{2} - 2 x$

Этап 1.3

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$2 | x - 1 | = x^{2} - 2 x - 7$

Этап 2

Разделим каждый член $2 | x - 1 | = x^{2} - 2 x - 7$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $2 | x - 1 | = x^{2} - 2 x - 7$ на $2$ .

$\frac{2 | x - 1 |}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 | x - 1 |}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $| x - 1 |$ на $1$ .

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{- 7}{2}$

Этап 2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{- 7}{2}$

Этап 2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{- 7}{2}$

Этап 2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- x}{1} + \frac{- 7}{2}$

Этап 2.3.1.1.2.4

Разделим $- x$ на $1$ .

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} - x + \frac{- 7}{2}$

Этап 2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}$

Этап 3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2})$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x - 1 = \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}$

Этап 4.2

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2} = x - 1$

Этап 4.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2} - x = - 1$

Этап 4.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{7}{2} = - 1$

Этап 4.4

Каждый член в $\frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{7}{2} = - 1$ умножим на $2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим каждый член $\frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{7}{2} = - 1$ на $2$ .

$\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 2 x \cdot 2 - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Этап 4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 2 x \cdot 2 - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Этап 4.4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 2 x \cdot 2 - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Этап 4.4.2.1.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x^{2} - 4 x - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Этап 4.4.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{2}$ в числитель.

$x^{2} - 4 x + \frac{- 7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Этап 4.4.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 4 x + \frac{- 7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Этап 4.4.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 4 x - 7 = - 1 \cdot 2$

Этап 4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{2} - 4 x - 7 = - 2$

Этап 4.5

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 4 x - 7 + 2 = 0$

Этап 4.6

Добавим $- 7$ и $2$ .

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

Этап 4.7

Разложим $x^{2} - 4 x - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $- 4$ .

$- 5, 1$

Этап 4.7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Этап 4.8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4.9

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 4.9.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4.10

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.10.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.11

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 5, - 1$

Этап 4.12

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x - 1 = - (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2})$

Этап 4.13

$- (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}) = x - 1$

Этап 4.14

Упростим $- (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Перепишем.

$0 + 0 - (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}) = x - 1$

Этап 4.14.2

Упростим путем добавления нулей.

$- (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}) = x - 1$

Этап 4.14.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{x^{2}}{2} - - x - - \frac{7}{2} = x - 1$

Этап 4.14.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.4.1

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.4.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + 1 x - - \frac{7}{2} = x - 1$

Этап 4.14.4.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x - - \frac{7}{2} = x - 1$

Этап 4.14.4.2

Умножим $- - \frac{7}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x + 1 (\frac{7}{2}) = x - 1$

Этап 4.14.4.2.2

Умножим $\frac{7}{2}$ на $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{7}{2} = x - 1$

Этап 4.15

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{7}{2} - x = - 1$

Этап 4.15.2

Объединим противоположные члены в $- \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{7}{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + 0 + \frac{7}{2} = - 1$

Этап 4.15.2.2

Добавим $- \frac{x^{2}}{2}$ и $0$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2} = - 1$

Этап 4.16

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.16.1

Вычтем $\frac{7}{2}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{x^{2}}{2} = - 1 - \frac{7}{2}$

Этап 4.16.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{2}$

Этап 4.16.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{7}{2}$

Этап 4.16.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 1 \cdot 2 - 7}{2}$

Этап 4.16.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.16.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 2 - 7}{2}$

Этап 4.16.5.2

Вычтем $7$ из $- 2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 9}{2}$

Этап 4.16.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2}}{2} = - \frac{9}{2}$

Этап 4.17

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$- x^{2} = - 9$

Этап 4.18

Разделим каждый член $- x^{2} = - 9$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 9$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 4.18.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 4.18.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 4.18.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.3.1

Разделим $- 9$ на $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Этап 4.19

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 4.20

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.20.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 4.20.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 4.21

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.21.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 4.21.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 4.21.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 4.22

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5, - 1, 3, - 3$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $2 | x - 1 | - x^{2} + 2 x + 7 = 0$ истинным.

$x = 5, - 3$