Алгебра Примеры

$\tan^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cot^{2} (x)}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cot^{2} (x)}$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cot^{2} (x)}$

Этап 1.3

Перепишем $\frac{\sin^{2} (x)}{\cot^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{\sin (x)}{\cot (x)})}^{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{\cot (x)})}^{2}$

Этап 1.4

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}})}^{2}$

Этап 1.5

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 1.6

Запишем $\sin (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 1.7.2

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 1.8.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 1.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 1.8.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 1.9

Применим правило умножения к $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{{(\sin^{2} (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.10

Перемножим экспоненты в ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 2

Перепишем $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3

Перепишем $\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $b = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$(\tan (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Этап 5.1.3

Разделим дроби.

$(\tan (x) + \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Этап 5.1.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \frac{\sin (x)}{1} \tan (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Этап 5.1.5

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 5.2.3

Разделим дроби.

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Этап 5.2.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \tan (x)))$

Этап 5.2.5

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x))$

Этап 6

Развернем $(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x))$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x))$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим противоположные члены в $\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Изменим порядок множителей в членах $\tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$ и $\sin (x) \tan (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) - \sin (x) \tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Этап 7.1.2

Добавим $- \sin (x) \tan (x) \tan (x)$ и $\sin (x) \tan (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Этап 7.1.3

Добавим $\tan (x) \tan (x)$ и $0$ .

$\tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\tan (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Этап 7.2.1.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Этап 7.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Этап 7.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan^{2} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Этап 7.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\tan^{2} (x) - \sin (x) \tan (x) \sin (x) \tan (x)$

Этап 7.2.3

Умножим $- \sin (x) \tan (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) \tan (x) \tan (x)$

Этап 7.2.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \tan (x) \tan (x)$

Этап 7.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} \tan (x) \tan (x)$

Этап 7.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$

Этап 7.2.4

Умножим $- \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))$

Этап 7.2.4.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

Этап 7.2.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}$

Этап 7.2.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $\tan^{2} (x)$ из $\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим на $1$ .

$\tan^{2} (x) \cdot 1 - \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Этап 7.3.2

Вынесем множитель $\tan^{2} (x)$ из $- \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

Этап 7.3.3

Вынесем множитель $\tan^{2} (x)$ из $\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$ .

$\tan^{2} (x) (1 - \sin^{2} (x))$

Этап 8

Применим формулу Пифагора.

$\tan^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Этап 9

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \cos^{2} (x)$

Этап 10

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Этап 11

Сократим общий множитель $\cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Этап 11.2

Перепишем это выражение.

$\sin^{2} (x)$