Алгебра Примеры

$\sqrt{x + 2} + 1 = \sqrt{3 - x}$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x + 2} = \sqrt{3 - x} - 1$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x + 2}}^{2} = {(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 2}$ в виде ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 2)}^{1} = {(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x + 2 = {(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$ в виде $(\sqrt{3 - x} - 1) (\sqrt{3 - x} - 1)$ .

$x + 2 = (\sqrt{3 - x} - 1) (\sqrt{3 - x} - 1)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(\sqrt{3 - x} - 1) (\sqrt{3 - x} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 2 = \sqrt{3 - x} (\sqrt{3 - x} - 1) - 1 (\sqrt{3 - x} - 1)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 2 = \sqrt{3 - x} \sqrt{3 - x} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 (\sqrt{3 - x} - 1)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 2 = \sqrt{3 - x} \sqrt{3 - x} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $\sqrt{3 - x} \sqrt{3 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{3 - x}$ в степень $1$ .

$x + 2 = {\sqrt{3 - x}}^{1} \sqrt{3 - x} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{3 - x}$ в степень $1$ .

$x + 2 = {\sqrt{3 - x}}^{1} {\sqrt{3 - x}}^{1} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x + 2 = {\sqrt{3 - x}}^{1 + 1} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x + 2 = {\sqrt{3 - x}}^{2} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{3 - x}}^{2}$ в виде $3 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 - x}$ в виде ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 2 = {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 2 = {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x + 2 = {(3 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$x + 2 = {(3 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$x + 2 = {(3 - x)}^{1} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$x + 2 = 3 - x + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $\sqrt{3 - x}$ .

$x + 2 = 3 - x - 1 \cdot \sqrt{3 - x} - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 \sqrt{3 - x}$ в виде $- \sqrt{3 - x}$ .

$x + 2 = 3 - x - \sqrt{3 - x} - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.5

Перепишем $- 1 \sqrt{3 - x}$ в виде $- \sqrt{3 - x}$ .

$x + 2 = 3 - x - \sqrt{3 - x} - \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x + 2 = 3 - x - \sqrt{3 - x} - \sqrt{3 - x} + 1$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $3$ и $1$ .

$x + 2 = 4 - x - \sqrt{3 - x} - \sqrt{3 - x}$

Этап 3.3.1.3.3

Вычтем $\sqrt{3 - x}$ из $- \sqrt{3 - x}$ .

$x + 2 = 4 - x - 2 \sqrt{3 - x}$

Этап 4

Решим относительно $- 2 \sqrt{3 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $4 - x - 2 \sqrt{3 - x} = x + 2$ .

$4 - x - 2 \sqrt{3 - x} = x + 2$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $- 2 \sqrt{3 - x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x - 2 \sqrt{3 - x} = x + 2 - 4$

Этап 4.2.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \sqrt{3 - x} = x + 2 - 4 + x$

Этап 4.2.3

Добавим $x$ и $x$ .

$- 2 \sqrt{3 - x} = 2 x + 2 - 4$

Этап 4.2.4

Вычтем $4$ из $2$ .

$- 2 \sqrt{3 - x} = 2 x - 2$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 2 \sqrt{3 - x})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 - x}$ в виде ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2)}^{2} {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$4 {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(3 - x)}^{1} = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$4 (3 - x) = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 3 + 4 (- x) = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.1

Умножим $4$ на $3$ .

$12 + 4 (- x) = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$12 - 4 x = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(2 x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(2 x - 2)}^{2}$ в виде $(2 x - 2) (2 x - 2)$ .

$12 - 4 x = (2 x - 2) (2 x - 2)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(2 x - 2) (2 x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 - 4 x = 2 x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$12 - 4 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 - 4 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 - 4 x = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$12 - 4 x = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$12 - 4 x = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$12 - 4 x = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$12 - 4 x = 4 x^{2} - 4 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$12 - 4 x = 4 x^{2} - 4 x - 4 x - 2 \cdot - 2$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$12 - 4 x = 4 x^{2} - 4 x - 4 x + 4$

Этап 6.3.1.3.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$12 - 4 x = 4 x^{2} - 8 x + 4$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x^{2} - 8 x + 4 = 12 - 4 x$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $4 x$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} - 8 x + 4 + 4 x = 12$

Этап 7.2.2

Добавим $- 8 x$ и $4 x$ .

$4 x^{2} - 4 x + 4 = 12$

Этап 7.3

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 4 x + 4 - 12 = 0$

Этап 7.4

Вычтем $12$ из $4$ .

$4 x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Этап 7.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} - 4 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 4 x - 8 = 0$

Этап 7.5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- x) - 8 = 0$

Этап 7.5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- x) + 4 (- 2) = 0$

Этап 7.5.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2}) + 4 (- x)$ .

$4 (x^{2} - x) + 4 (- 2) = 0$

Этап 7.5.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} - x) + 4 (- 2)$ .

$4 (x^{2} - x - 2) = 0$

Этап 7.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Разложим $x^{2} - x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 7.5.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$4 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Этап 7.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x - 2) (x + 1) = 0$

Этап 7.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 7.7

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 7.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7.8

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 7.8.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x - 2) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 2, - 1$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{x + 2} + 1 = \sqrt{3 - x}$ истинным.

$x = - 1$