Алгебра Примеры

$S (r) = r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48$

Этап 1

Приравняем $r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48$ к $0$ .

$r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$r^{5} - 7 r^{3} - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $r$ из $r^{5} - 7 r^{3} - 8 r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $r$ из $r^{5}$ .

$r \cdot r^{4} - 7 r^{3} - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $r$ из $- 7 r^{3}$ .

$r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2}) - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $r$ из $- 8 r$ .

$r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2}) + r \cdot - 8 + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Этап 2.1.2.4

Вынесем множитель $r$ из $r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2})$ .

$r (r^{4} - 7 r^{2}) + r \cdot - 8 + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Этап 2.1.2.5

Вынесем множитель $r$ из $r (r^{4} - 7 r^{2}) + r \cdot - 8$ .

$r (r^{4} - 7 r^{2} - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $r^{4}$ в виде ${(r^{2})}^{2}$ .

$r ({(r^{2})}^{2} - 7 r^{2} - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Этап 2.1.4

Пусть $u = r^{2}$ . Подставим $u$ вместо $r^{2}$ для всех.

$r (u^{2} - 7 u - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим $u^{2} - 7 u - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 7$ .

$- 8, 1$

Этап 2.1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$r ((u - 8) (u + 1)) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Этап 2.1.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Заменим все вхождения $u$ на $r^{2}$ .

$r ((r^{2} - 8) (r^{2} + 1)) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Этап 2.1.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Этап 2.1.7

Перепишем $r^{4}$ в виде ${(r^{2})}^{2}$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 {(r^{2})}^{2} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Этап 2.1.8

Пусть $u = r^{2}$ . Подставим $u$ вместо $r^{2}$ для всех.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} - 43 u - 48 = 0$

Этап 2.1.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot - 48 = - 240$ , а сумма — $b = - 43$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1.1

Вынесем множитель $- 43$ из $- 43 u$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} - 43 u - 48 = 0$

Этап 2.1.9.1.2

Запишем $- 43$ как $5$ плюс $- 48$

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + (5 - 48) u - 48 = 0$

Этап 2.1.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + 5 u - 48 u - 48 = 0$

Этап 2.1.9.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + 5 u - 48 u - 48 = 0$

Этап 2.1.9.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u (u + 1) - 48 (u + 1) = 0$

Этап 2.1.9.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u + 1$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (u + 1) (5 u - 48) = 0$

Этап 2.1.10

Заменим все вхождения $u$ на $r^{2}$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48) = 0$

Этап 2.1.11

Вынесем множитель $r^{2} + 1$ из $r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Вынесем множитель $r^{2} + 1$ из $r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1)$ .

$(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8)) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48) = 0$

Этап 2.1.11.2

Вынесем множитель $r^{2} + 1$ из $(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8)) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48)$ .

$(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8) + 5 r^{2} - 48) = 0$

Этап 2.1.12

Применим свойство дистрибутивности.

$(r^{2} + 1) (r \cdot r^{2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Этап 2.1.13

Умножим $r$ на $r^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1

Умножим $r$ на $r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1.1

Возведем $r$ в степень $1$ .

$(r^{2} + 1) (r \cdot r^{2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Этап 2.1.13.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(r^{2} + 1) (r^{1 + 2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Этап 2.1.13.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Этап 2.1.14

Перенесем $- 8$ влево от $r$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - 8 r + 5 r^{2} - 48) = 0$

Этап 2.1.15

Изменим порядок членов.

$(r^{2} + 1) (r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48) = 0$

Этап 2.1.16

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1

Перепишем $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1.1

Разложим $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.16.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Этап 2.1.16.1.1.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1.1.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{3} + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

Этап 2.1.16.1.1.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

Этап 2.1.16.1.1.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$27 + 5 \cdot 9 - 8 \cdot 3 - 48$

Этап 2.1.16.1.1.3.4

Умножим $5$ на $9$ .

$27 + 45 - 8 \cdot 3 - 48$

Этап 2.1.16.1.1.3.5

Добавим $27$ и $45$ .

$72 - 8 \cdot 3 - 48$

Этап 2.1.16.1.1.3.6

Умножим $- 8$ на $3$ .

$72 - 24 - 48$

Этап 2.1.16.1.1.3.7

Вычтем $24$ из $72$ .

$48 - 48$

Этап 2.1.16.1.1.3.8

Вычтем $48$ из $48$ .

$0$

Этап 2.1.16.1.1.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $r - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48}{r - 3}$

Этап 2.1.16.1.1.5

Разделим $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ на $r - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$r$

$3$

$r^{3}$

$5 r^{2}$

$8 r$

$48$

Этап 2.1.16.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $r^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $r$ .

					$r^{2}$
	$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$

Этап 2.1.16.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			+	$r^{3}$	-	$3 r^{2}$

Этап 2.1.16.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $r^{3} - 3 r^{2}$ .

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$

Этап 2.1.16.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$

Этап 2.1.16.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$

Этап 2.1.16.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 r^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $r$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$

Этап 2.1.16.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					+	$8 r^{2}$	-	$24 r$

Этап 2.1.16.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 r^{2} - 24 r$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$

Этап 2.1.16.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$

Этап 2.1.16.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$

Этап 2.1.16.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $16 r$ на член с максимальной степенью в делителе $r$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$

Этап 2.1.16.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							+	$16 r$	-	$48$

Этап 2.1.16.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $16 r - 48$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							-	$16 r$	+	$48$

Этап 2.1.16.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							-	$16 r$	+	$48$
										$0$

Этап 2.1.16.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$r^{2} + 8 r + 16$

Этап 2.1.16.1.1.6

Запишем $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ в виде набора множителей.

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 8 r + 16)) = 0$

Этап 2.1.16.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 8 r + 4^{2})) = 0$

Этап 2.1.16.1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 r = 2 \cdot r \cdot 4$

Этап 2.1.16.1.2.3

Перепишем многочлен.

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 2 \cdot r \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Этап 2.1.16.1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = r$ и $b = 4$ .

$(r^{2} + 1) ((r - 3) {(r + 4)}^{2}) = 0$

Этап 2.1.16.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(r^{2} + 1) (r - 3) {(r + 4)}^{2} = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$r^{2} + 1 = 0$

$r - 3 = 0$

${(r + 4)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $r^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $r^{2} + 1$ к $0$ .

$r^{2} + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $r^{2} + 1 = 0$ относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$r^{2} = - 1$

Этап 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 2.3.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$r = \pm i$

Этап 2.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$r = i$

Этап 2.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$r = - i$

Этап 2.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$r = i, - i$

Этап 2.4

Приравняем $r - 3$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $r - 3$ к $0$ .

$r - 3 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$r = 3$

Этап 2.5

Приравняем ${(r + 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем ${(r + 4)}^{2}$ к $0$ .

${(r + 4)}^{2} = 0$

Этап 2.5.2

Решим ${(r + 4)}^{2} = 0$ относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Приравняем $r + 4$ к $0$ .

$r + 4 = 0$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$r = - 4$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(r^{2} + 1) (r - 3) {(r + 4)}^{2} = 0$ верно.

$r = i, - i, 3, - 4$

Этап 3