Алгебра Примеры

$2 \sqrt{x - 4} = - \sqrt{x - 1} + 4$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x - 4})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 4}$ в виде ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Этап 2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Этап 2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Этап 2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(x - 4)}^{1} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Этап 2.2.1.4

Упростим.

$4 (x - 4) = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 \cdot - 4 = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Этап 2.2.1.6

Умножим $4$ на $- 4$ .

$4 x - 16 = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$ в виде $(- \sqrt{x - 1} + 4) (- \sqrt{x - 1} + 4)$ .

$4 x - 16 = (- \sqrt{x - 1} + 4) (- \sqrt{x - 1} + 4)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(- \sqrt{x - 1} + 4) (- \sqrt{x - 1} + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 16 = - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1} + 4) + 4 (- \sqrt{x - 1} + 4)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 16 = - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1} + 4)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 16 = - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $- \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 x - 16 = 1 \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.1.2

Умножим $\sqrt{x - 1}$ на $1$ .

$4 x - 16 = \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.1.3

Возведем $\sqrt{x - 1}$ в степень $1$ .

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{1} \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.1.4

Возведем $\sqrt{x - 1}$ в степень $1$ .

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{1} {\sqrt{x - 1}}^{1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{1 + 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{2} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ в виде $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x - 16 = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$4 x - 16 = x - 1 - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 x - 16 = x - 1 - 4 \sqrt{x - 1} + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$4 x - 16 = x - 1 - 4 \sqrt{x - 1} - 4 \sqrt{x - 1} + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.5

Умножим $4$ на $4$ .

$4 x - 16 = x - 1 - 4 \sqrt{x - 1} - 4 \sqrt{x - 1} + 16$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $- 1$ и $16$ .

$4 x - 16 = x + 15 - 4 \sqrt{x - 1} - 4 \sqrt{x - 1}$

Этап 2.3.1.3.3

Вычтем $4 \sqrt{x - 1}$ из $- 4 \sqrt{x - 1}$ .

$4 x - 16 = x + 15 - 8 \sqrt{x - 1}$

Этап 3

Решим относительно $- 8 \sqrt{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x + 15 - 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16$ .

$x + 15 - 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $- 8 \sqrt{x - 1}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$15 - 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16 - x$

Этап 3.2.2

Вычтем $15$ из обеих частей уравнения.

$- 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16 - x - 15$

Этап 3.2.3

Вычтем $x$ из $4 x$ .

$- 8 \sqrt{x - 1} = 3 x - 16 - 15$

Этап 3.2.4

Вычтем $15$ из $- 16$ .

$- 8 \sqrt{x - 1} = 3 x - 31$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 8 \sqrt{x - 1})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 8 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(- 8 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $- 8 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 8)}^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$64 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$64 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$64 {(x - 1)}^{1} = {(3 x - 31)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Упростим.

$64 (x - 1) = {(3 x - 31)}^{2}$

Этап 5.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$64 x + 64 \cdot - 1 = {(3 x - 31)}^{2}$

Этап 5.2.1.6

Умножим $64$ на $- 1$ .

$64 x - 64 = {(3 x - 31)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим ${(3 x - 31)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем ${(3 x - 31)}^{2}$ в виде $(3 x - 31) (3 x - 31)$ .

$64 x - 64 = (3 x - 31) (3 x - 31)$

Этап 5.3.1.2

Развернем $(3 x - 31) (3 x - 31)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$64 x - 64 = 3 x (3 x - 31) - 31 (3 x - 31)$

Этап 5.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$64 x - 64 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x - 31)$

Этап 5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$64 x - 64 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Этап 5.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$64 x - 64 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Этап 5.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$64 x - 64 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Этап 5.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$64 x - 64 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Этап 5.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Этап 5.3.1.3.1.4

Умножим $- 31$ на $3$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 93 x - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Этап 5.3.1.3.1.5

Умножим $3$ на $- 31$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 93 x - 93 x - 31 \cdot - 31$

Этап 5.3.1.3.1.6

Умножим $- 31$ на $- 31$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 93 x - 93 x + 961$

Этап 5.3.1.3.2

Вычтем $93 x$ из $- 93 x$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 186 x + 961$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 x^{2} - 186 x + 961 = 64 x - 64$

Этап 6.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $64 x$ из обеих частей уравнения.

$9 x^{2} - 186 x + 961 - 64 x = - 64$

Этап 6.2.2

Вычтем $64 x$ из $- 186 x$ .

$9 x^{2} - 250 x + 961 = - 64$

Этап 6.3

Добавим $64$ к обеим частям уравнения.

$9 x^{2} - 250 x + 961 + 64 = 0$

Этап 6.4

Добавим $961$ и $64$ .

$9 x^{2} - 250 x + 1025 = 0$

Этап 6.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot 1025 = 9225$ , а сумма — $b = - 250$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Вынесем множитель $- 250$ из $- 250 x$ .

$9 x^{2} - 250 x + 1025 = 0$

Этап 6.5.1.2

Запишем $- 250$ как $- 45$ плюс $- 205$

$9 x^{2} + (- 45 - 205) x + 1025 = 0$

Этап 6.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{2} - 45 x - 205 x + 1025 = 0$

Этап 6.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(9 x^{2} - 45 x) - 205 x + 1025 = 0$

Этап 6.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$9 x (x - 5) - 205 (x - 5) = 0$

Этап 6.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 5$ .

$(x - 5) (9 x - 205) = 0$

Этап 6.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$9 x - 205 = 0$

Этап 6.7

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 6.7.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 6.8

Приравняем $9 x - 205$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Приравняем $9 x - 205$ к $0$ .

$9 x - 205 = 0$

Этап 6.8.2

Решим $9 x - 205 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Добавим $205$ к обеим частям уравнения.

$9 x = 205$

Этап 6.8.2.2

Разделим каждый член $9 x = 205$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.2.1

Разделим каждый член $9 x = 205$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{205}{9}$

Этап 6.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{205}{9}$

Этап 6.8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{205}{9}$

Этап 6.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (9 x - 205) = 0$ верно.

$x = 5, \frac{205}{9}$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $2 \sqrt{x - 4} = - \sqrt{x - 1} + 4$ истинным.

$x = 5$